Циклический ранг

Циклический ранг ориентированного графа — мера связности орграфа, предложенная Эгганом и Бучи^{[англ.][1]}. Это понятие интуитивно отражает, насколько близок орграф к направленному ациклическому графу (НАГ, en:DAG), когда циклический ранг НАГ равен нулю, в то время как ориентированный орграф порядка n с петлями в каждой вершине имеет циклический ранг n. Циклический ранг ориентированного графа тесно связан с глубиной дерева неориентированного графа и высотой итерации регулярных языков. Циклический ранг нашёл применение также в вычислениях с разреженными матрицами (см. статью Bodlaender, Gilbert, Hafsteinsson, Kloks, 1995) и логике^[2].

Циклический ранг r(G) орграфа G = (V, E) индуктивно определяется следующим образом

• Если G ацикличен, то r(G) = 0.
• Если G сильно связан и E не пусто, то

${\displaystyle r(G)=1+\min _{v\in V}r(G-v),\,}$ где ${\displaystyle G-v}$ является орграфом, полученным удалением вершины v и всех рёбер, начинающихся или оканчивающихся в v.

• Если G не является компонентой сильной связности, то r(G) равен максимальному циклическому рангу среди всех компонент сильной связности графа G.

Глубина дерева неориентированного графа имеет очень похожее определение с помощью неориентированной связности и связных компонент вместо сильной связности и компонент сильной связности.

Циклический ранг ввёл Эгган^[1] в контексте высоты итерации регулярных языков. Циклический ранг переоткрыли Айзенштат и Лю^[3] как обобщение неориентированной глубины дерева. Понятие разрабатывалось с начала 1980-х и применялось для работы с разреженными матрицами^[4].

Циклический ранг направленного ациклического графа равен 0, в то время как полный орграф порядка n с петлёй в каждой вершине имеет циклический ранг n. Кроме этих двух случаев, известен циклический ранг нескольких других орграфов: неориентированный путь ${\displaystyle P_{n}}$ порядка n, который обладает отношением симметрии рёбер и не имеет петель, имеет циклический ранг ${\displaystyle \lfloor \log n\rfloor }$^[5]. Для ориентированного ${\displaystyle (m\times n)}$-тора ${\displaystyle T_{m,n}}$, т.е. прямого произведения двух ориентированных контуров длины m и n, имеем ${\displaystyle r(T_{n,n})=n}$ и ${\displaystyle r(T_{m,n})=\min\{m,n\}+1}$ для m ≠ n^[1][6].

Вычисление циклического ранга является сложной задачей. Грубер^[7] доказал, что соответствующая задача разрешимости является NP-полной даже для разреженных орграфов с максимальной полустепенью исхода 2. Положительный момент состоит в том, что задача разрешима за время ${\displaystyle O(1.9129^{n})}$ на орграфах с максимальной полустепенью исхода 2 и за время ${\displaystyle O^{*}(2^{n})}$ на общих орграфах. Существует аппроксимационный алгоритм с аппроксимационным коэффициентом ${\displaystyle O((\log n)^{\frac {3}{2}})}$.

Первое приложение циклического ранга было в теории формальных языков для изучения высоты итерации языка регулярных языков. Эгган^[1] установил отношение между теориями регулярных выражений, конечными автоматами и ориентированными графами. В последующих годах это отношение стало известно как теорема Эггана^[8]. В теории автоматов недетерминированный конечный автомат с ε-переходами (ε-НКА) определяется как 5-ка, (Q, Σ, δ, q₀, F), состоящая из

• конечного множества состояний Q
• конечного множества входных символов Σ (алфавита)
• множества помеченных рёбер δ, называемых отношениями перехода: Q × (Σ ∪{ε}) × Q. Здесь ε означает пустую строку.
• начального состояния q₀ ∈ Q
• множества состояний F (поглощающие состояния) F ⊆ Q.

Слово w ∈ Σ^* допускается ε-НКА автоматом, если существует ориентированный путь из начального состояния q₀ в некоторое конечное состояние из F используя рёбра из δ, так что конкатенация всех меток вдоль пути даёт слово w. Множество всех слов над Σ^*, допускаемых автоматом, является языком, принимаемым автоматом A.

Когда говорят о свойствах орграфов недетерминированного конечного автомата A с множеством состояний Q, естественным образом подразумевается орграф с множеством вершин Q, порождённый отношением переходов.

Теорема Эггана: Высота итерации языка регулярного языка L равна минимальному циклическому рангу среди всех недетерминированных конечных автоматов c ε-переходами (с пустыми переходами), принимающих язык L.

Доказательства этой теоремы дали Эгган^[1] и, позднее, Сакарович^[8].

Другое приложение этой концепции лежит в области вычислений с разреженными матрицами, а именно, для использования вложенного рассечения^[англ.] при вычислении разложения Холецкого (симметричной) матрицы с помощью параллельного алгоритма. Заданную разреженную ${\displaystyle (n\times n)}$ матрицу M можно интерпретировать как матрицу смежности некоторого симметричного орграфа G с n вершинами, так что ненулевые элементы матрицы соответствуют один-к-одному рёбрам графа G. Если циклический ранг орграфа G не превосходит k, то разложение Холецкого матрицы M может быть вычислено максимум за k шагов на параллельном компьютере с ${\displaystyle n}$ процессорами^[9].

• Контурный ранг