Частица в периодическом потенциале

В квантовой механике задача о части́це в одноме́рном периоди́ческом потенциа́ле — идеализированная задача, которая может быть решена аналитически (для некоторых потенциальных полей специального вида), без упрощений. При решении предполагается, что функция потенциала задана на всем бесконечном пространстве и периодична, то есть обладает трансляционной симметрией, что, вообще говоря, не выполняется для реальных кристаллов, где всегда существует как минимум один дефект — поверхность кристалла (это приводит к другой задаче о поверхностных состояниях или таммовских уровнях).

Рассмотрим одномерную решётку ионов, расстояние между которыми ${\displaystyle a}$. Потенциал при этом будет периодическим. Рассмотрим сначала идеализированный случай бесконечного кристалла. Уравнение Шрёдингера имеет вид:

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}\psi (x)}{\partial x^{2}}}+V_{a}(x)\psi (x)=E\psi (x)}$

с периодическим потенциалом вида ${\displaystyle V_{a}(x)=V_{a}(x+a).}$ Спектр определяется как множество тех энергий, при которых уравнение имеет решения, ограниченные (не стремящиеся к нулю или бесконечности) на всей вещественной оси. Уравнение Шрёдингера имеет второй порядок, соответственно пространство решений является двумерным. Пусть ${\displaystyle \psi _{1,2}}$ — линейно независимые решения уравнения. Тогда при сдвиге на период, в силу периодичности задачи, они преобразуются через друг друга:

${\displaystyle \left({\begin{matrix}\psi _{1}(x+a)\\\psi _{2}(x+a)\end{matrix}}\right)=\mathrm {T} \left({\begin{matrix}\psi _{1}(x)\\\psi _{2}(x)\end{matrix}}\right),}$

где ${\displaystyle \mathrm {T} }$ — некоторая матрица (матрица монодромии).

Рассматривая вронскиан, можно показать, что ${\displaystyle \mathrm {T} }$ унитарна и ${\displaystyle \det \mathrm {T} =1}$. Отсюда следует, что в некотором базисе она имеет вид:

${\displaystyle \mathrm {T} =\left({\begin{matrix}e^{\mathrm {i} ka}&0\\0&e^{-\mathrm {i} ka}\end{matrix}}\right).}$

Отсюда следует теорема Блоха: соответствующие собственные функции имеют вид:

${\displaystyle \psi _{1,2}(x)=e^{\mathrm {i} kx}\phi _{1,2}(x),}$

где ${\displaystyle \phi _{1,2}(x)}$ — периодические функции.

Заметим, что пока что ${\displaystyle k\in \mathbb {C} }$. Очевидно, что спектру соответствуют ${\displaystyle k\in \mathbb {R} ,}$ что с учётом унитарности равносильно условию на след матрицы монодромии:

${\displaystyle \mathrm {Tr} \ \mathrm {T} =2\cos(kx)\in [-2;2].}$

Можно показать, что ${\displaystyle \mathrm {Tr} (\mathrm {T} )(E)}$ есть гладкая функция.

Отсюда следует зонная структура спектра: для частицы в периодическом потенциале допустимые уровни энергии — это некоторое, обычно бесконечное, множество отрезков на вещественной оси. Для потенциала общего вида спектр не имеет изолированных точек, при малом изменении потенциала они либо исчезают, либо превращаются в зоны с малой шириной. Заметим, что крайние отрезки спектра в принципе могут быть неограниченны, при этом все уровни энергии, начиная с некоторого, являются допустимыми, а полное число зон конечно (см. конечнозонное интегрирование). В подобной постановке задача допускает полное и простое решение в тэта-функциях.

Величину ${\displaystyle k}$ называют квазиимпульсом, по аналогии с волновым числом волновой функции ${\displaystyle e^{\mathrm {i} kx}}$ для частицы с определённым импульсом ${\displaystyle k.}$ Как видно, волновая функция полностью определяется величиной ${\displaystyle k}$ и значениямии функции на отрезке длиной ${\displaystyle a.}$

Аналогично возникают энергетические зоны в решётках более высоких размерностей.

В реальном кристалле число допустимых состояний очень велико. Приводящее к этому дополнительное ограничение на величину квазиимпульса возникает из граничных условий на волновую функцию на поверхности кристалла. При этом вместо непрерывных зон возникают области с плотно расположенными дискретными уровнями энергии (разрешённые зоны) и области, в которых разрешённых состояний вообще нет (запрещённые зоны). Оценим расстояние между уровнями энергии в разрешённых зонах.

Вместо рассмотрения допустимых уровней энергии (для этого потребовалась бы дополнительная информация, вроде дисперсионного соотношения и точной структуры кристалла) рассмотрим допустимые значения квазиимпульса. При рассмотрении изолированного кристалла обычно рассматриваются периодические граничные условия на волновую функцию. Это предположение оправдано, так как точные граничные условия в реальном кристалле состоят в занулении волновой функции электронов на его границе. Для одномерного кристалла это означает чётность волновой функции (0 находится в центре кристалла). Если же влияние границ на волновую функцию мало́, то приближённо можно забыть про точное значение волновой функции на границе, сохранив лишь свойство симметрии — чётность.

Рассмотрим одномерный кристалл длины ${\displaystyle L}$. Граничное условие имеет вид:

${\displaystyle \psi (0)=\psi (L).}$

С учётом теоремы Блоха отсюда следует, что:

${\displaystyle kL=2\pi n,\;n\in \mathbb {Z} .}$

Таким образом, расстояние между соседними допустимыми значениями квазиимпульса равно:

${\displaystyle \Delta k={\frac {2\pi n}{L}}.}$

Аналогично, в общем случае, для кубической кристаллической решётки:

${\displaystyle \Delta k_{x,y,z}={\frac {2\pi n}{L_{x,y,z}}}.}$

Для упрощения задачи потенциал аппроксимируют прямоугольной функцией используя теорему Блоха. При этом находят волновую функцию во всём пространстве, но сначала исследуют решение для неё на одном периоде, и делают его гладким на границах периодов, то есть «сшивают» значения функций в соседних периодах и их производных.

Рассмотрим один период потенциала^[1]:
У нас есть две независимых области для которых мы найдём решения:

${\displaystyle 0<x<a-b:{-\hbar ^{2} \over 2m}\psi _{xx}=E\psi \Rightarrow \psi =Ae^{i\alpha x}+A'e^{-i\alpha x}\quad \left(\alpha ^{2}={2mE \over \hbar ^{2}}\right)}$

${\displaystyle -b<x<0:{-\hbar ^{2} \over 2m}\psi _{xx}=(E+V_{0})\psi \Rightarrow \psi =Be^{i\beta x}+B'e^{-i\beta x}\quad \left(\beta ^{2}={2m(E+V_{0}) \over \hbar ^{2}}\right).}$

Для нахождения ${\displaystyle u(x)}$ в каждой области нужно проделать следующие преобразования:

${\displaystyle \psi (0<x<a-b)=Ae^{i\alpha x}+A'e^{-i\alpha x}=e^{ikx}\cdot \left(Ae^{i(\alpha -k)x}+A'e^{-i(\alpha +k)x}\right)}$

${\displaystyle \Rightarrow u(0<x<a-b)=Ae^{i(\alpha -k)x}+A'e^{-i(\alpha +k)x}.}$

Аналогично получим:

${\displaystyle u(-b<x<0)=Be^{i(\beta -k)x}+B'e^{-i(\beta +k)x}.}$

Чтобы найти полное решение, надо убедиться в гладкости искомой функции на границах:

${\displaystyle \psi (0^{-})=\psi (0^{+})\quad \psi '(0^{-})=\psi '(0^{+})}$

и периодичности ${\displaystyle u(x)}$ и ${\displaystyle u'(x):}$

${\displaystyle u(-b)=u(a-b)\quad u'(-b)=u'(a-b).}$

Эти условия порождают следующую матрицу:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1&-1&-1\\\alpha &-\alpha &-\beta &\beta \\e^{i(\alpha -k)(a-b)}&e^{-i(\alpha +k)(a-b)}&-e^{-i(\beta -k)b}&-e^{i(\beta +k)b}\\(\alpha -k)e^{i(\alpha -k)(a-b)}&-(\alpha +k)e^{-i(\alpha +k)(a-b)}&-(\beta -k)e^{-i(\beta -k)b}&(\beta +k)e^{i(\beta +k)b}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A\\A'\\B\\B'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}.}$

Для существования нетривиального решения необходимо чтобы детерминант этой матрицы был равен нулю. После некоторых преобразований получаем:

${\displaystyle \cos(ka)=\cos(\beta b)\cos[\alpha (a-b)]-{\alpha ^{2}+\beta ^{2} \over 2\alpha \beta }\sin(\beta b)\sin[\alpha (a-b)].\qquad (*)}$

Для дальнейшего упрощения выполним следующие преобразования, смысл которых заключается в переходе к дельта-образным потенциалам (типа дираковская гребёнка):

${\displaystyle b\rightarrow 0\ ;\ V_{0}\rightarrow \infty \ ;\ V_{0}b=\mathrm {constant} .}$

${\displaystyle \Rightarrow \beta b\rightarrow 0\ ;\ \beta ^{2}b=\mathrm {constant} \ ;\ \alpha ^{2}b\rightarrow 0\ ;\ \sin(\beta b)\rightarrow \beta b\ ;\ \cos(\beta b)\rightarrow 1.}$

Тогда конечный ответ будет:

${\displaystyle \cos(ka)=\cos(\alpha a)-P{\sin(\alpha a) \over \alpha a}\qquad \left(P={\beta ^{2}ab \over 2}\right).}$

Следующий программный код написан на языке Maple (9.5). Представляет собой просто графическое решение ${\displaystyle (*)}$.

  restart;
  with(plots):
  with(stats[statplots]):
  eq:=cos(k*a)=cos(beta*b)*cos(alpha*(a-b)) - (alpha^2+beta^2)/(2*alpha*beta)*sin(beta*b)*sin(alpha*(a-b));
  alpha:=sqrt(8*Pi^2*m*(E)*e/h^2):
  beta:=sqrt(8*Pi^2*m*(E+V)*e/h^2):
  e:=1.6*1e-19:
  a:=0.54310*1e-9:
  m:=0.19*9.1*1e-31:
  b:=1/5*a:
  h:=6.6*1e-34:
  k(E,V):=arccos(rhs(evalf(eq)))/a;

  #График
  p:=plot({subs(V=10,k(E,V)),subs(V=10,-k(E,V))},E=-5..50,labels=[ka, E],color=blue):
  xyexchange(p);

  #Анимация, зависимость от глубины ямы
  p:=animate( plot, [{k(E,V),-k(E,V)},E=-10..50, color=blue,labels=[ka, E]], V=0..30 ):
  xyexchange(p);

На рисунках представлены графические решения уравнения (*).

На правом рисунке видно, как при некотором значении потенциальной энергии возможно образование одномерного бесщелевого полупроводника.

Код ниже является фактически переводом предшествующей программы на язык Scilab, за тем исключением, что иллюстрирует также и случай перехода к гребёнке Дирака.

clear all

global Pi e a m b h

Pi = 3.1415926;

step = 0.1;

e = 1.6 * 1e-19;
a = 0.54310 * 1e-9;
m = 0.19*9.1 * 1e-31;
b = 1/5 * a;
h = 6.6 * 1e-34;

function [alpha, beta] = ab(V,E)
  alpha = sqrt(8*Pi^2*m*(E)*e/h^2);
  beta  = sqrt(8*Pi^2*m*(E+V)*e/h^2);
endfunction

function r=kronigpenney(V, E)
  [alpha, beta] = ab(V,E);
  r = 1/a * acos((cos(beta*b) .* cos(alpha*(a-b)) ) - (alpha.^2+beta.^2) ./ (2*alpha .* beta) .* sin(beta*b) .* sin(alpha*(a-b)));
endfunction

function r=dirac(V,E)
  [alpha, beta] = ab(V,E);
  r = 1/a * acos(cos(alpha * a) - (beta.^2 * b * a) ./ 2 .* sin(alpha*a) ./ (alpha * a));
endfunction

E = [1e-3 : step: 50];

k = kronigpenney(10, E);
plot(k, E, 'b'); plot(-k, E, 'b');

k = dirac(10, E);
plot(k, E, 'r'); plot(-k, E, 'r');

Код ниже является переводом предшествующей программы на язык Matlab.

function KronigPenneyM

% clear all
% global Pi e a m b h
Pi = 3.1415926;
step = 0.1;

e = 1.6 * 1e-19;
a = 0.54310 * 1e-9;
m = 0.19*9.1 * 1e-31;
b = 1/5 * a;
h = 6.6 * 1e-34;

E = [0 : step: 50];
N = 3;

hold on; 
k = kronigpenney(N, E);
plot([real(k) NaN, -real(k)], [E NaN E], 'b');

k = dirac(N, E);
plot([real(k) NaN, -real(k)], [E NaN E], 'r');

function [alpha, beta] = ab(V,E)
  alpha = sqrt(8*Pi^2*m*(E)*e/h^2);
  beta  = sqrt(8*Pi^2*m*(E+V)*e/h^2);
end

function r=kronigpenney(V, E)
  [alpha, beta] = ab(V,E);
  r = 1/a * acos((cos(beta*b) .* cos(alpha*(a-b)) ) - (alpha.^2+beta.^2) / (2*alpha .* beta) .* sin(beta*b) .* sin(alpha*(a-b)));
end

function r=dirac(V,E)
  [alpha, beta] = ab(V,E);
  r = 1/a * acos(cos(alpha * a) - (beta.^2 * b * a) / 2 .* sin(alpha*a) / (alpha * a));
end
end

• Задачи по квантовой механике. Часть 1. Галицкий, Карнаков, Коган.
• 1-D periodic potential applet

• Гинзбург И. Ф. Частицы в конечных и бесконечных одномерных периодических цепочках // УФН. — 2020. — Т. 190. — С. 429—440. — doi:10.3367/UFNr.2019.12.038709.