Частная производная

В математическом анализе частная производная (первая производная) — одно из обобщений понятия производной на случай функции нескольких переменных. Частная производная — это предел отношения приращения функции по выбранной переменной к приращению этой переменной, при стремлении этого приращения к нулю.

Частная производная функции ${\displaystyle f}$ по переменной ${\displaystyle x}$ обычно обозначается ${\displaystyle {\tfrac {\partial f}{\partial x}}}$, ${\displaystyle f_{x}}$ или ${\displaystyle D_{x}f}$. В случае если переменные нумерованы, например ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$ используются также обозначения ${\displaystyle f_{i}}$ и ${\displaystyle D_{i}f}$.

В явном виде частная производная функции ${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$ в точке ${\displaystyle (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})}$ определяется следующим образом:

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{k}}}(a_{1},\cdots ,a_{n})=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(a_{1},\ldots ,a_{k}+\Delta x,\ldots ,a_{n})-f(a_{1},\ldots ,a_{k},\ldots ,a_{n})}{\Delta x}}.}$

Оператор \ Функция	${\displaystyle f(x)}$	${\displaystyle f(x,y,u(x,y),v(x,y))}$
Дифференциал	1: ${\displaystyle \operatorname {d} \!f=f'_{x}\operatorname {d} \!x}$	2: ${\displaystyle \operatorname {d} _{x}\!f=f'_{x}\operatorname {d} \!x}$ 3: ${\displaystyle \operatorname {d} \!f=f'_{x}\operatorname {d} \!x+f'_{y}\operatorname {d} \!y+f'_{u}\operatorname {d} \!u+f'_{v}\operatorname {d} \!v}$
Частная производная (первая производная)	${\displaystyle f'_{x}{\overset {\underset {\mathrm {(1)} }{}}{=}}{\frac {\operatorname {d} \!f}{\operatorname {d} \!x}}}$	${\displaystyle f'_{x}{\overset {\underset {\mathrm {(2)} }{}}{=}}{\frac {\operatorname {d} _{x}\!f}{\operatorname {d} \!x}}={\partial f \over \partial x}}$
Полная производная (вторая производная)	${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} \!f}{\operatorname {d} \!x}}{\overset {\underset {\mathrm {(1)} }{}}{=}}f'_{x}}$	${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} \!f}{\operatorname {d} \!x}}{\overset {\underset {\mathrm {(3)} }{}}{=}}f'_{x}+f'_{u}{\frac {\operatorname {d} \!u}{\operatorname {d} \!x}}+f'_{v}{\frac {\operatorname {d} \!v}{\operatorname {d} \!x}};(f'_{y}{\frac {\operatorname {d} \!y}{\operatorname {d} \!x}}=0)}$

Следует обратить внимание, что обозначение ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}}$ следует понимать как цельный символ, в отличие от обычной производной функции одной переменной ${\displaystyle {\frac {df}{dx}}}$, которую можно представить как отношение дифференциалов функции и аргумента. Однако и частную производную можно представить как отношение дифференциалов, но в этом случае необходимо обязательно указывать, по какой переменной осуществляется приращение функции: ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}\equiv {\frac {d_{x}f}{dx}}}$, где ${\displaystyle d_{x}f}$ — частный дифференциал функции ${\displaystyle f}$ по переменной ${\displaystyle x}$. Часто непонимание факта цельности символа ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}}$ является причиной ошибок и недоразумений, как, например, сокращение ${\displaystyle \partial x}$ в выражении ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial t}}}$ ^[1].

Геометрически, частная производная даёт производную по направлению одной из координатных осей. Частная производная функции ${\displaystyle f}$ в точке ${\displaystyle {\vec {x}}{\,}^{0}=(x_{1}^{0},\ldots ,x_{n}^{0})}$ по координате ${\displaystyle x_{k}}$ равна производной ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\vec {e}}}}}$ по направлению ${\displaystyle {\vec {e}}={\vec {e}}{\,}^{k}=(0,\ldots ,0,1,0,\ldots ,0)}$, где единица стоит на ${\displaystyle k}$-м месте.

Объём V конуса зависит от высоты h и радиуса r, согласно формуле

${\displaystyle V={\frac {\pi r^{2}h}{3}},}$

Частная производная объёма V относительно радиуса r

${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial r}}={\frac {2\pi rh}{3}},}$

которая показывает скорость, с которой изменяется объём конуса, если его радиус меняется, а его высота остаётся неизменной. Например, если считать единицы измерения объёма ${\displaystyle m^{3}}$, а измерения длины ${\displaystyle m}$, то вышеуказанная производная будет иметь размерность скорости измерения объёма ${\displaystyle m^{3}/m}$, т.е. изменение величины радиуса на 1 ${\displaystyle m}$ будет соответствовать изменению объёма конуса на ${\displaystyle {\frac {2\pi rh}{3}}}$ ${\displaystyle m^{3}}$.

Частная производная относительно h

${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial h}}={\frac {\pi r^{2}}{3}},}$

которая показывает скорость, с которой изменяется объём конуса, если его высота меняется, а его радиус остаётся неизменным.

Полная производная V относительно r и h

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} r}}=\overbrace {\frac {2\pi rh}{3}} ^{\frac {\partial V}{\partial r}}+\overbrace {\frac {\pi r^{2}}{3}} ^{\frac {\partial V}{\partial h}}{\frac {\operatorname {d} h}{\operatorname {d} r}}}$

и

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} h}}=\overbrace {\frac {\pi r^{2}}{3}} ^{\frac {\partial V}{\partial h}}+\overbrace {\frac {2\pi rh}{3}} ^{\frac {\partial V}{\partial r}}{\frac {\operatorname {d} r}{\operatorname {d} h}}}$

Различие между полной и частной производной — устранение косвенных зависимостей между переменными в последней.

Если (по некоторым причинам) пропорции конуса остаются неизменными, то высота и радиус находятся в фиксированном отношении k,

${\displaystyle k={\frac {h}{r}}={\frac {\operatorname {d} h}{\operatorname {d} r}}.}$

Это даёт полную производную относительно r:

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} r}}={\frac {2\pi rh}{3}}+k{\frac {\pi r^{2}}{3}}}$

Уравнения, в которые входят частные производные, называются дифференциальными уравнениями в частных производных и широко известны в физике, инженерии и других науках и прикладных дисциплинах.

• Смешанная частная производная