Чезаровское среднее

Чезаровское среднее (среднее по Чезаро) — среднее арифметическое частичных сумм первых ${\displaystyle n}$ членов заданной последовательности ${\displaystyle \{a_{n}\}}$:

${\displaystyle c_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}s_{i}}$

где ${\displaystyle s_{n}}$ — частичные суммы ряда:

${\displaystyle s_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}}$

Названо в честь итальянского математика Эрнесто Чезаро.

Основной результат теории чезаровских средних — теорема Штольца — утверждает, что если существует предел последовательности частичных сумм ${\displaystyle s_{n}}$, то также существует предел последовательности ${\displaystyle c_{n}}$, и они равны:

${\displaystyle \exists \lim _{n\to \infty }s_{n}=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}a_{i}=A\Rightarrow \exists \lim _{n\to \infty }c_{n}=A}$.

Тем самым, операция взятия чезаровского среднего обладает свойством регулярности — сохраняет свойство сходимости последовательности и её предел. В то же время, существует множество примеров, когда исходная последовательность не имеет предела, а её чезаровские средние сходятся. (Например, последовательность ${\displaystyle a_{n}=(-1)^{n}}$.) Это позволяет использовать чезаровские средние как один из методов суммирования расходящихся рядов.

• Кириллов А. А., Гвишиани А. Д. Теоремы и задачи функционального анализа.