Числа Бернулли
Чи́сла Берну́лли — последовательность рациональных чисел , впервые рассмотренная Якобом Бернулли в связи с вычислением суммы последовательных натуральных чисел, возведённых в одну и ту же степень:
где — биномиальный коэффициент.
Некоторые авторы указывают другие определения, однако в большинстве современных учебников даётся такое же определение, как и здесь. При этом . Часть авторов (например, трёхтомник Фихтенгольца) использует определение, которое отличается от этого только знаком . Кроме того, так как за исключением все числа Бернулли с нечётным номером равны 0, некоторые авторы используют обозначение «» для или .
Рекуррентная формула
Для чисел Бернулли существует следующая рекуррентная формула:
Свойства
- Все числа Бернулли с нечётными номерами, кроме , равны нулю, а знаки чисел Бернулли с чётными номерами чередуются.
- Числа Бернулли являются значениями многочленов Бернулли при :
- Числа Бернулли часто входят в коэффициенты разложения элементарных функций в степенной ряд. Например:
- Экспоненциальная производящая функция для чисел Бернулли:
- Экспоненциальная производящая функция для чисел Бернулли:
- Эйлер установил связь между числами Бернулли и значениями дзета-функции Римана ζ(s) при чётных s = 2k:
- А также
- для всех натуральных n > 1.
- Порядок роста чисел Бернулли даётся следующей асимптотической формулой:
- при чётных . Из формулы, написанной выше, следует равносильность этой асимптотики и равенства: .
- Теорема Штаудта-Клаузена утверждает, что
- Из неё, в частности, следует, что знаменатель дроби есть произведение простых p таких, что p − 1 делит 2n.
Литература
- Бернуллиевы числа // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
- Абрамович В. Числа Бернулли // Квант. — 1974. — № 6. — С. 10—14.