Числа Деланнуа

Числа Деланнуа^[1] (или числа Деланоя^[2]; фр. Delannoy) D(a, b) в комбинаторике описывают количества путей из левого нижнего угла прямоугольной решётки (a, b) в противоположный по диагонали угол, используя только ходы вверх, вправо или вверх-вправо («ходом короля»). В a-мерном клеточном автомате D(a,b) задают количество клеток в окрестности фон Неймана радиуса b, последовательность A008288 в OEIS; количество клеток на поверхности окрестности задет последовательность A266213 в OEIS. Названы в честь французского математика Анри Огюста Деланнуа^[фр.][3].

Для квадратной сетки n × n первые числа Деланнуа (начиная с n=0) последовательность A001850 в OEIS:

1, 3, 13, 63, 321, 1683, 8989, 48639, 265729, …

Например, D(3,3)=63, так как существует 63 различных пути Деланнуа в квадрате 3 × 3:

Пути, которые не поднимаются выше диагонали, описывают числа Шрёдера.

Дополнительные значения приведены в таблице:

Числа Деланнуа удовлетворяют рекуррентному соотношению: ${\displaystyle \ D(m,n)=D(m-1,n)+D(m-1,n-1)+D(m,n-1)}$, в качестве начальных условий можно принять D(0,k)=D(k,0)=1.

Это уравнение аналогично треугольнику Паскаля для биномиальных коэффициентов C(m,n):

${\displaystyle \ C(m,n)=C(m-1,n)+C(n-1,m)}$

которое относится к количеству путей между теми же вершинами, но при условии, что допустимы только ходы по сторонам клеток.

Если учесть места, в которых пути пересекают диагональ, то можно вывести связь между числами Деланнуа и биномиальными коэффициентами^[4]:

${\displaystyle \ D(m,n)=\sum _{k=0}^{m}C(m,k)C(n+m-k,m)=\sum _{k=0}^{m}2^{k}C(m,k)C(n,k)}$

Кроме того

${\displaystyle D(m,n)=\sum _{k=0}^{n}A(m,k),}$

где ${\displaystyle A(m,k)}$ задано последовательность A266213 в OEIS.

Производящая функция для чисел:

${\displaystyle \sum _{p,q=0}^{\infty }D(p,q)x^{p}y^{q}={\frac {1}{1-x-y-xy}}}$

Когда рассматриваются пути в квадрате, числа Деланнуа равны:

${\displaystyle D(n)=D(n,n)=P_{n}(3)}$, где ${\displaystyle P_{n}(x)}$ — полином Лежандра.

Другие свойства для них:

${\displaystyle D(n)={\frac {3(2n-1)D(n-1)-(n-1)D(n-2)}{n}}}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }D(n)x^{n}={\frac {1}{\sqrt {1-6x+x^{2}}}}=1+3x+13x^{2}+63x^{3}+321x^{4}+\ldots }$

• Числа Моцкина
• Числа Нараяны
• Числа Шрёдера

• Weisstein, Eric W. Delannoy Number (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Richard P. Stanley. Enumerative Combinatorics. — Cambridge University Press, 1999. — Т. 2. — С. 185. — ISBN 0-521-56069-1.
• Упоминание чисел Деланнуа в русскоязычной статье.