Числа Леонардо

Числа Леонардо — последовательность чисел, задаваемая зависимостью:

L(n):={\begin{cases}1&{\text{если }}n=0;\\1&{\text{если }}n=1;\\L(n-1)+L(n-2)+1&{\text{если }}n>1.\\\end{cases}}

Эдсгер Дейкстра^[1] использовал их как составную часть своего алгоритма плавной сортировки, и изучил их некоторые особенности.^[2]

Взаимосвязь с числами Фибоначчи

Числа Леонардо связаны с числами Фибоначчи через формулу $L(n)=2F(n+1)-1,n\geqslant 0$ .

Из этой формулы прямо следует выражение для чисел Леонардо, аналогичное формуле Бине для чисел Фибоначчи:

L(n)=2{\frac {\varphi ^{n+1}-(1-\varphi )^{n+1}}{\varphi -(1-\varphi )}}-1={\frac {2}{\sqrt {5}}}\left(\varphi ^{n+1}-(1-\varphi )^{n+1}\right)-1

где $\varphi =(1+{\sqrt {5}})/2$ является золотым сечением, и кроме того $\varphi$ и $1-\varphi =(1-{\sqrt {5}})/2$ являются корнями квадратного уравнения $x^{2}-x-1=0.$

Первые двадцать членов последовательности чисел Леонардо таковы:

1, 1, 3, 5, 9, 15, 25, 41, 67, 109, 177, 287, 465, 753, 1219, 1973, 3193, 5167, 8361, 13529 —

последовательность A001595 в OEIS

Отношение соседних чисел Леонардо, так же, как и соседних чисел Фибоначчи, стремится к золотому сечению.

Примечания

↑ EWD797 (неопр.). Дата обращения: 5 сентября 2011. Архивировано 13 сентября 2011 года.
↑ EWD796a (неопр.). Дата обращения: 5 сентября 2011. Архивировано 13 сентября 2011 года.

Похожие исследовательские статьи

Золото́е сече́ние — отношение частей и целого, при котором отношения частей между собой и наибольшей части к целому равны. Такие отношения наблюдаются в природе, открыты в науке и соблюдаются в искусстве. На «золотых отрезках» основываются различные системы и способы пропорционирования в архитектуре. Соотношение двух величин $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ , при котором бо́льшая величина относится к меньшей так же, как сумма этих величин к бо́льшей, то есть $\text{[math]}$ , является универсальным. Отсюда название, которое впервые появилось в эпоху Возрождения, в частности в трактате францисканского монаха, математика Луки Пачоли Божественная пропорция, но закономерность подобных отношений была известна гораздо раньше: в Древней Месопотамии, Египте и античной Греции.

Лемниска́та Берну́лли — плоская алгебраическая кривая. Определяется как геометрическое место точек, произведение расстояний от которых до двух заданных точек (фокусов) постоянно и равно квадрату половины расстояния между фокусами.

<span class="mw-page-title-main">Числа Фибоначчи</span> элементы числовой последовательности

Чи́сла Фибона́ччи — элементы числовой последовательности:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, …,

Ко́мпле́ксные чи́сла — числа вида $\text{[math]}$ где $\text{[math]}$ — вещественные числа, $\text{[math]}$ — мнимая единица, то есть число, для которого выполняется равенство: $\text{[math]}$ Множество комплексных чисел обычно обозначается символом $\text{[math]}$ Вещественные числа можно рассматривать как частный случай комплексных, они имеют вид $\text{[math]}$ Главное свойство $\text{[math]}$ — в нём выполняется основная теорема алгебры, то есть любой многочлен $\text{[math]}$ -й степени имеет $\text{[math]}$ корней. Доказано, что система комплексных чисел логически непротиворечива.

Преобразование Фурье́ — операция, сопоставляющая одной функции вещественной переменной другую функцию вещественной переменной. Эта новая функция описывает коэффициенты («амплитуды») при разложении исходной функции на элементарные составляющие — гармонические колебания с разными частотами.

Норма́льное распределе́ние, также называемое распределением Гаусса или Гаусса — Лапласа — распределение вероятностей, которое в одномерном случае задаётся функцией плотности вероятности, совпадающей с функцией Гаусса:

\text{[math]}

где параметр

\text{[math]}

— математическое ожидание, медиана и мода распределения, а параметр

\text{[math]}

— среднеквадратическое отклонение,

\text{[math]}

— дисперсия распределения.

<span class="mw-page-title-main">Функция Эйлера</span> мультипликативная арифметическая функция

Фу́нкция Э́йлера $\text{[math]}$ — мультипликативная арифметическая функция, значение которой равно количеству натуральных чисел, меньших либо равных $\text{[math]}$ и взаимно простых с ним.

Рекуррентная формула — формула вида $\text{[math]}$ , выражающая каждый член последовательности $\text{[math]}$ через $\text{[math]}$ предыдущих членов и номер члена последовательности $\text{[math]}$ .

Поля́рная систе́ма координа́т — система координат на плоскости, определяющаяся двумя полярными координатами $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ , которые связаны с декартовыми прямоугольными координатами $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ следующими выражениями:

\text{[math]}

\text{[math]}

<span class="mw-page-title-main">Деление (математика)</span> действие, обратное умножению

Деле́ние — действие, обратное умножению. Деление обозначается двоеточием $\text{[math]}$ , обелюсом $\text{[math]}$ , косой чертой $\text{[math]}$ или записывается в виде дроби.

Числа Люка́ — элементы линейной рекуррентной последовательности, заданной формулой:

\text{[math]}

Метод золотого сечения — метод поиска экстремума действительной функции одной переменной на заданном отрезке. В основе метода лежит принцип деления отрезка в пропорциях золотого сечения. Является одним из простейших вычислительных методов решения задач оптимизации. Впервые представлен Джеком Кифером в 1953 году.

Сферические функции представляют собой угловую часть семейства ортогональных решений уравнения Лапласа, записанную в сферических координатах. Они широко используются для изучения физических явлений в пространственных областях, ограниченных сферическими поверхностями и при решении физических задач, обладающих сферической симметрией. Сферические функции имеют большое значение в теории дифференциальных уравнений в частных производных и теоретической физике, в частности в задачах расчёта электронных орбиталей в атоме, гравитационного поля геоида, магнитного поля планет и интенсивности реликтового излучения.

Фибоначчиева система счисления — смешанная система счисления для целых чисел на основе чисел Фибоначчи F₂=1, F₃=2, F₄=3, F₅=5, F₆=8 и т. д.

Квадратный корень из числа 5 — положительное действительное число, которое при умножении само на себя даёт число 5. Это иррациональное и алгебраическое число.

Число Пелля — целое число, входящее в качестве знаменателя в бесконечную последовательность подходящих дробей для квадратного корня из 2. Эта последовательность приближений начинается следующим образом: $\text{[math]}$ , то есть первые числа Пелля — 1, 2, 5, 12 и 29. Числители той же последовательности приближений являются половинами сопутствующих чисел Пелля или числами Пелля — Люка — бесконечной последовательностью, начинающейся с 2, 6, 14, 34 и 82.

Рациональные тригонометрические суммы — комплексные суммы особого вида, которые могут использоваться при доказательстве теорем аналитической теории чисел

В математике таблица Витхоффа — бесконечная целочисленная матрица, полученная из последовательности Фибоначчи и названная в честь голландского математика Виллема Абрахама Витхоффа. Была определена математиком Моррисоном в 1980 году на основе пар Витхоффа, координат выигрышных позиций в игре Витхоффа; может также быть определена с помощью чисел Фибоначчи и теоремы Цекендорфа или непосредственно через золотое сечение и рекуррентное соотношение, определяющее числа Фибоначчи. Каждое положительное целое число встречается в таблице ровно один раз, и путём сдвига строк таблицы можно получить любую целочисленную последовательность, определяемую рекуррентным соотношением Фибоначчи.

Числа Фибоначчи образуют определённую с помощью рекурсии последовательность

\text{[math]}

\text{[math]}

\text{[math]}

для целого числа

\text{[math]}

Слово Фибоначчи — это некоторая последовательность двоичных цифр. Слово Фибоначчи формируется путём повторения конкатенации тем же образом, что и числа Фибоначчи образуются путём повторяемых сложений.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.