Числа Сабита

Числа Сабита — натуральные числа, задающиеся формулой ${\displaystyle 3\cdot 2^{n}-1}$ для целых неотрицательных ${\displaystyle n.}$

Первые числа Сабита^[1][2] — это

${\displaystyle 2\;,\;5\;,\;11\;,\;23\;,\;47\;,\;95\;,\;191\;,\;383\;,\;767\;,\;1535\;,\;3071\;,\;6143\;,\;12287\;,\;24575\;,\;49151\;,\;98303\;,\;196607\;,\;393215\;,\;786431\;,\;1572863\;,\;\ldots }$

(последовательность A055010 в OEIS.)

Последовательность названа в честь иракского математика девятого века Сабит Ибн Курра, исследовавшим такие числа.^[3]

• Двоичное представление числа Сабита ${\displaystyle 3\cdot 2^{n}-1}$ имеет длину ${\displaystyle n+2.}$
• Некоторые числа Сабита являются простыми:

${\displaystyle 2\;,\;5\;,\;11\;,\;23\;,\;47\;,\;191\;,\;383\;,\;6143\;,\;786431\;,\;51539607551\;,\;824633720831\;,\;\ldots }$

(последовательность A007505 в OEIS.)

• Известны следующие значения ${\displaystyle n,}$ дающие простые числа:

${\displaystyle 0\;,\;1\;,\;2\;,\;3\;,\;4\;,\;6\;,\;7\;,\;11\;,\;18\;,\;34\;,\;38\;,\;43\;,\;47\;,\;55\;,\;64\;,\;76\;,}$

${\displaystyle 94\;,\;103\;,\;143\;,\;206\;,\;216\;,\;306\;,\;324\;,\;391\;,\;458\;,\;470\;,\;827\;,\;1274\;,\;3276\;,\;4204\;,\;5134\;,}$

${\displaystyle 7559\;,\;12676\;,\;14898\;,\;18123\;,\;18819\;,\;25690\;,\;26459\;,\;41628\;,\;51387\;,\;71783\;,\;80330\;,\;85687\;,\;88171\;,\;97063\;,}$

${\displaystyle 123630\;,155930\;,\;164987\;,\;234760\;,\;414840\;,\;584995\;,\;702038\;,\;727699\;,\;992700\;,\;1201046\;,\;1232255\;,\;2312734\;,\;3136255\;,\;\ldots }$

(последовательность A002235 в OEIS.)

• Простые числа Сабита ищутся в ходе проекта распределённых вычислений «321 search»^[4], который позже был поглощенном проектом PrimeGrid.

• По состоянию на 2023 год наибольшее из известных простых чисел Сабита: 3 × 2^20928756 − 1, состоящее из 6 300 184 цифр. Число было найденное 5 июля 2023 года^[5] и на момент своего обнаружения занимало 20-ю позицию среди самых больших известных простых чисел.

Если и ${\displaystyle n,}$ и ${\displaystyle n-1}$ являются числами Сабита, и если ${\displaystyle 9\cdot 2^{2n-1}-1}$ — простое, то пара дружественных чисел может быть найдена как

${\displaystyle 2^{n}(3\cdot 2^{n-1}-1)(3\cdot 2^{n}-1)}$ и ${\displaystyle 2^{n}(9\cdot 2^{2n-1}-1).}$

• Числа, записываемые формулой ${\displaystyle 3\cdot 2^{n}+1}$ называются числами Сабита второго рода.

• Первые числа Сабита второго рода:

  ${\displaystyle 4,7,13,25,49,97,193,385,769,1537,3073,6145,12289,24577,49153,98305,196609,393217,786433,1572865,...}$

• Первые простые числа Сабита второго рода (последовательность A039687 в OEIS):

  ${\displaystyle 7,13,97,193,769,12289,786433,3221225473,206158430209,6597069766657,221360928884514619393,...}$

• Первые значения ${\displaystyle n}$, при которых ${\displaystyle 3\cdot 2^{n}+1}$ простые:

  ${\displaystyle 1,2,5,6,8,12,18,30,36,41,66,189,201,209,276,353,408,438,534,2208,2816,3168,3189,3912,...}$ (последовательность A2253 в OEIS).

• Weisstein, Eric W. Thâbit ibn Kurrah Number (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.