Числа Эйлера II рода

Чи́сла Э́йлера II ро́да обозначаются ${\displaystyle \left\langle {\left\langle {n \atop m}\right\rangle }\right\rangle =\left\langle {\left\langle n,m\right\rangle }\right\rangle =T(n,m+1)}$ и определяются как количество перестановок мультимножества ${\displaystyle \{1,1,2,2,...,n,n\}}$, обладающих тем свойством, что для каждого ${\displaystyle k}$ подсчитываются все числа, большие чем ${\displaystyle k}$, встречающиеся между двумя вхождениями ${\displaystyle k}$ в перестановке (таких перестановок ${\displaystyle (2n-1)!!}$, где !! обозначает двойной факториал), и имеющих ровно ${\displaystyle m}$ «подъёмов» (элементов, бо́льших предыдущего элемента).

Например, для ${\displaystyle n=3}$ существует 15 таких перестановок, 1 без подъёмов, 8 с одним подъёмом и 6 с двумя подъёмами:

${\displaystyle 332211,}$

${\displaystyle 221133,221331,223311,233211,113322,133221,331122,331221,}$

${\displaystyle 112233,122133,112332,123321,133122,122331.}$

Числа Эйлера второго рода удовлетворяют рекуррентному соотношению, которое непосредственно следует из приведённого выше определения:

${\displaystyle \left\langle {\left\langle {n \atop m}\right\rangle }\right\rangle =(2n-m-1)\left\langle {\left\langle {n-1 \atop m-1}\right\rangle }\right\rangle +(m+1)\left\langle {\left\langle {n-1 \atop m}\right\rangle }\right\rangle }$,

с начальным условием для ${\displaystyle n=0}$, выраженным в скобках Айверсона:

${\displaystyle \left\langle {\left\langle {0 \atop m}\right\rangle }\right\rangle =[m=0]}$.

Соответственно, полином Эйлера второго рода, обозначаемый здесь ${\displaystyle P_{n}}$ (для них не существует стандартных обозначений)

${\displaystyle P_{n}(x)=\sum _{m=0}^{n}{\left\langle {\left\langle {n \atop m}\right\rangle }\right\rangle }x^{m}}$ и вышеупомянутые рекуррентные отношения переводятся в рекуррентное отношение для последовательности ${\displaystyle P_{n}(x)}$:

${\displaystyle P_{n+1}(x)=(2nx+1)P_{n}(x)-x(x-1)P'_{n}(x)}$

с начальным условием ${\displaystyle P_{0}(x)=1}$.

Последнее повторение может быть записано в несколько более компактной форме с помощью интегрирующего фактора:

${\displaystyle (x-1)^{-2n-2}P_{n+1}(x)=(x(1-x)^{-2n-1}P_{n}(x)')}$,

так что рациональная функция

${\displaystyle u_{n}(x):=(x-1)^{-2n}P_{n}(x)}$

удовлетворяет простому автономному рекуррентному соотношению:

${\displaystyle u_{n+1}=\left({\frac {x}{1-x}}u_{n}\right)'}$, ${\displaystyle u_{0}=1}$,

откуда можно получить эйлеровы многочлены в виде ${\displaystyle P_{n}(x)=(1-x)^{2n}}$ и ${\displaystyle u_{n}(x)}$ и числа Эйлера второго рода в качестве их коэффициентов.

Значения чисел Эйлера II рода ${\displaystyle \left\langle {\left\langle {n \atop m}\right\rangle }\right\rangle }$ для малых значений n и m приведены в следующей таблице (последовательность A008517 в OEIS):

Сумма ${\displaystyle n}$-й строки, которая также является значением ${\displaystyle P_{n}(1)}$, равна ${\displaystyle (2n-1)!!}$.

• Эйлер, Леонард
• Числа Эйлера I рода
• Рекуррентная формула

• Eulerian number — Wikipedia
• Weisstein, Eric W. Euler's Number Triangle (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Числа Эйлера
• Weisstein, Eric W. Треугольник чисел Эйлера II рода (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.