Число Лефшеца

Число Лефшеца — определённая целочисленная характеристика отображения топологического пространства в себя.

Пусть ${\displaystyle X}$ — топологическое пространство, ${\displaystyle f:X\to X}$ — непрерывное отображение, ${\displaystyle H_{*}(X,k)}$ — группы гомологий ${\displaystyle X}$ с коэффициентами в поле ${\displaystyle k}$. Пусть ${\displaystyle t_{n}}$ — след линейного преобразования

${\displaystyle f_{*}:H_{n}(X,k)\to H_{n}(X,k)}$

По определению, число Лефшеца отображения ${\displaystyle f}$ есть

${\displaystyle \Lambda (f,X)=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}t_{n}}$

• Число Лефшеца определено если общий ранг групп ${\displaystyle H_{*}(X,k)}$ конечен, и в этом случае не зависит от выбора ${\displaystyle k}$.

• Число Лефшеца тождественного отображения равно эйлеровой характеристике ${\displaystyle X}$.

Пусть ${\displaystyle X}$ — связное ориентируемое ${\displaystyle n}$-мерное компактное топологическое многообразие или ${\displaystyle n}$-мерный конечный клеточный комплекс, ${\displaystyle f:X\to X}$ — непрерывное отображение.

Предположим, что все неподвижные точки отображения ${\displaystyle f:X\to X}$ изолированы.

Для каждой неподвижной точки ${\displaystyle x\in X}$, обозначим через ${\displaystyle i(x)}$ её индекс Кронекера (локальная степень отображения ${\displaystyle f}$ в окрестности точки ${\displaystyle x}$). Тогда формула Лефшеца для ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle f}$ имеет вид

${\displaystyle \sum _{\{x|f(x)=x\}}i(x)=\Lambda (f,X).}$

• В частности, если отображение конечного клеточного комплекса не имеет неподвижных точек, то его число Лефшеца равно нулю.

Эта формула была установлена впервые Лефшецем для конечномерных ориентируемых топологических многообразий и позже для конечных клеточных комплексов. Этим работам Лефшеца предшествовала работа Брауэра 1911 о неподвижной точке непрерывного отображения ${\displaystyle n}$-мерной сферы в себя.