Число Эйзенштейна

Число Эйзенштейна (число Эйлера^[1]) — комплексное число вида:

${\displaystyle z=a+b\omega }$

где a и b — целые и

${\displaystyle \omega ={\frac {1}{2}}(-1+i{\sqrt {3}})=e^{2\pi i/3}}$

— кубический невещественный корень из единицы. Целые Эйзенштейна формируют треугольную решетку на комплексной плоскости. (Аналогично тому, как гауссовы целые числа образуют квадратную решетку.)

Систематически исследованы немецким математиком Фердинандом Эйзенштейном.

Множество целых чисел Эйзенштейна является коммутативным кольцом с единицей. Это кольцо содержится в поле алгебраических чисел ${\displaystyle \mathbf {Q} (\omega )}$ — в круговом поле третьей степени.

Число ${\displaystyle \omega }$ удовлетворяет уравнению ${\displaystyle \omega ^{2}+\omega +1=0.}$ и является целым алгебраическим числом. Поэтому и все целые Эйзенштейна являются целыми алгебраическими числами.

Можно также явно выписать многочлен, корнем которого является ${\displaystyle z=a+b\omega }$,

${\displaystyle z^{2}-(2a-b)z+(a^{2}-ab+b^{2}).}$

Произведение двух чисел Эйзенштейна ${\displaystyle a+b\omega }$ и ${\displaystyle c+d\omega }$ дает

${\displaystyle (a+b\omega )\cdot (c+d\omega )=(ac-bd)+(bc+ad-bd)\omega .}$

Норма целого числа Эйзенштейна есть квадрат абсолютной величины

${\displaystyle |a+b\omega |^{2}=a^{2}-ab+b^{2}.}$

Таким образом, норма целого числа Эйзенштейна всегда является натуральным целым. Поскольку

${\displaystyle 4a^{2}-4ab+4b^{2}=(2a-b)^{2}+3b^{2},}$

норма целого числа Эйзенштейна, не равного нулю, всегда положительна.

Группа единиц кольца чисел Эйзенштейна является циклической группой, сформированной шестью корнями из единицы на комплексной плоскости. А именно

${\displaystyle \left\{\pm 1,\pm \omega ,\pm \omega ^{2}\right\}}$

А это и есть целые числа Эйзенштейна единичной нормы.

Если ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ — целые числа Эйзенштейна, мы говорим, что x делит y если существует некоторое целое число Эйзенштейна ${\displaystyle z}$, такое, что ${\displaystyle y=zx}$.

Это расширяет понятие делимости натуральных целых чисел. Мы также можем расширить понятие простого числа; Говорят, что отличное от единицы целое число Эйзенштейна x является простым числом Эйзенштейна, если все его делители имеют вид ${\displaystyle ux}$, где ${\displaystyle u}$ — любая из шести единиц.

Можно показать, что натуральные простые числа, сравнимые с 1 по модулю 3, а также число 3, можно представить в виде ${\displaystyle x^{2}-xy+y^{2}}$ (${\displaystyle x,y}$ — целые) и, поэтому, могут быть разложены ${\displaystyle (x+\omega y)(x+\omega ^{2}y)}$, а следовательно, не являются простыми числами Эйзенштейна. Натуральные простые числа, сравнимые с 2 по основанию 3, не могут быть представлены тем же образом, так что они являются также и простыми числами Эйзенштейна.

Каждое целое число Эйзенштейна ${\displaystyle a+b\omega }$, норма которого ${\displaystyle a^{2}-ab+b^{2}}$ — натуральное простое, являются простыми Эйзенштейна.

Кольцо чисел Эйзенштейна образуют евклидово кольцо, в котором норма N задается формой

${\displaystyle N(a+b\,\omega )=a^{2}-ab+b^{2}.}$

Это может быть выведено следующим образом:

${\displaystyle {\begin{aligned}N(a+b\,\omega )&=|a+b\,\omega |^{2}\\&=(a+b\,\omega )(a+b\,{\bar {\omega }})\\&=a^{2}+ab(\omega +{\bar {\omega }})+b^{2}\\&=a^{2}-ab+b^{2}\end{aligned}}}$

Факторгруппа комплексной плоскости C по решётке, содержащей все целые числа Эйзенштейна, является комплексным тором действительной размерности 2, который выделяется наибольшей группой симметрий среди всех комплексных торов действительной размерности 2.

• Гауссовы целые числа
• Кольцо Куммера
• Кубический закон взаимности
• Кватернион Гурвица
• Квадратные числа
• Круговое поле

• Eisenstein Integer--from MathWorld