Число наклонов графа
В визуализации графов и геометрической теории графов[англ.] число наклонов графа — это минимальное возможное число различных коэффициентов наклона рёбер в рисунке графа, в котором вершины представляются точками евклидовой плоскости, а рёбрами являются отрезки, которые не проходят через вершины, неинцидентные этим рёбрам.
Полные графы
Хотя близкие проблемы комбинаторной геометрии изучались ранее (Скоттом в 1970 году и Джемисоном в 1984 году), задачу определения числа наклонов графа поставили Вейд и Чу [1], показав, что число наклонов графа с n вершинами полного графа Kn равно в точности n. Рисунок графа с таким числом наклонов можно получить, расположив вершины графа в углах правильного многоугольника.
Связь со степенью графа
Ясно, что число наклонов графа с максимальной степенью d не меньше , поскольку максимум два инцидентных ребра вершины степени d могут лежать на одной прямой (иметь один наклон). Точнее, число наклонов не меньше линейной древесности графа, поскольку рёбра одного наклона должны образовывать линейный лес, а линейная древесность, в свою очередь, не меньше .
Существуют графы с максимальной степенью пять, имеющие произвольно большое число наклонов[2]. Однако любой граф с максимальной степенью три имеет не более четырёх наклонов[3]. Результат Вейда и Чу (Wade, Chu (1994) ) для полного графа K4 показывает, что эта граница точная. Не любой набор из четырёх наклонов подходит для рисования всех графов степени 3 — набор наклонов подходит для рисования тогда и только тогда, когда они являются наклонами сторон и диагоналей параллелограмма. В частности, любой граф степени 3 может быть нарисован так, что его рёбра либо параллельны осям, либо параллельны основным диагоналям целочисленной решётки[4]. Неизвестно, ограничено или нет число наклонов графов с максимальной степенью четыре [5].
Планарные графы
Как показали Кезег, Пах и Палвёлди(Keszegh, Pach, Pálvölgyi (2011) ), любой планарный граф имеет плоский рисунок в виде прямых отрезков, в котором число различных наклонов является функцией от степени графа. Их доказательство следует построению Малица и Папакостаса (Malitz, Papakostas (1994) ) для ограничения углового разрешения планарных графов как функции степени. Ограничение степени осуществляется дополнением графа до максимального планарного графа без увеличения его степени более чем на постоянный множитель, а затем применяется теорема об упаковке кругов для представления этого расширенного графа как набора касающихся друг друга окружностей. Если степень начального графа ограничена, отношение радиусов смежных окружностей в упаковке будет также ограничено [7], откуда, в свою очередь, следует, что применение дерева квадрантов для всех вершин графа в точке внутри окружности даёт наклоны, являющиеся отношениями малых целых чисел. Число различных наклонов, получаемое при этом построении, является экспонентой от степени графа.
Сложность
Задача определения, равно ли число наклонов двум, является NP-полной задачей[8][9][10]. Отсюда следует, что является NP-сложной задачей определение числа наклонов произвольного графа или аппроксимация этого числа с гарантированной эффективностью, лучшей чем 3/2.
Является ли планарный граф планарным рисунком с двумя наклонами — это также NP-полная задача [11].
Примечания
- ↑ Wade, Chu, 1994.
- ↑ Доказано независимо Баратом, Матоушеком, Вудом (Barát, Matoušek, Wood (2006) ) и Пахом, Палвёлди (Pach, Pálvölgyi (2006) ), когда они решали задачу, поставленную Дуймовичем, Судерманом и Шариром (Dujmović, Suderman, Wood (2005) ). См. теоремы 5.1 и 5.2 у Паха и Шарира (Pach, Sharir (2009) ).
- ↑ Муккамала, Сегеди (Mukkamala, Szegedy (2009) ), улучшившие более ранний результат Кезега, Палвёлди, Тота (Keszegh, Pach, Pálvölgyi, Tóth (2008) ). См. теорему 5.3 у Паха и Шарира (Pach, Sharir (2009) ).
- ↑ Mukkamala, Pálvölgyi, 2012.
- ↑ Pach, Sharir, 2009.
- ↑ Keszegh, Pach, Pálvölgyi, 2011.
- ↑ Hansen, 1988.
- ↑ Formann, Hagerup, Haralambides, Kaufmann, 1993.
- ↑ Eades, Hong, Poon, 2010.
- ↑ Maňuch, Patterson, Poon, Thachuk, 2011.
- ↑ Garg, Tamassia, 2001.
Литература
- János Barát, Jiří Matoušek, David R. Wood. Bounded-degree graphs have arbitrarily large geometric thickness // Electronic Journal of Combinatorics. — 2006. — Т. 13, вып. 1. — С. R3.
- Vida Dujmović, Matthew Suderman, David R. Wood. Graph Drawing: 12th International Symposium, GD 2004, New York, NY, USA, September 29-October 2, 2004, Revised Selected Papers / János Pach. — Berlin: Springer-Verlag, 2005. — Т. 3383. — С. 122–132. — (Lecture Notes in Computer Science). — doi:10.1007/978-3-540-31843-9_14.
- Peter Eades, Seok-Hee Hong, Sheung-Hung Poon. Graph Drawing: 17th International Symposium, GD 2009, Chicago, IL, USA, September 22-25, 2009, Revised Papers / David Eppstein, Emden R. Gansner. — Berlin: Springer, 2010. — Т. 5849. — С. 232–243. — (Lecture Notes in Computer Science). — doi:10.1007/978-3-642-11805-0_23.
- M. Formann, T. Hagerup, J. Haralambides, M. Kaufmann, F. T. Leighton, A. Symvonis, E. Welzl, G. J. Woeginger. Drawing graphs in the plane with high resolution // SIAM Journal on Computing. — 1993. — Т. 22, вып. 5. — С. 1035–1052. — doi:10.1137/0222063.
- Ashim Garg, Roberto Tamassia. On the computational complexity of upward and rectilinear planarity testing // SIAM Journal on Computing. — 2001. — Т. 31, вып. 2. — С. 601–625. — doi:10.1137/S0097539794277123.
- Lowell J. Hansen. On the Rodin and Sullivan ring lemma // Complex Variables, Theory and Application. — 1988. — Т. 10, вып. 1. — С. 23–30. — doi:10.1080/17476938808814284.
- Robert E. Jamison. Planar configurations which determine few slopes // Geometriae Dedicata. — 1984. — Т. 16, вып. 1. — С. 17–34. — doi:10.1007/BF00147419.
- Balázs Keszegh, János Pach, Dömötör Pálvölgyi. Graph Drawing: 18th International Symposium, GD 2010, Konstanz, Germany, September 21-24, 2010, Revised Selected Papers / Ulrik Brandes, Sabine Cornelsen. — Heidelberg: Springer, 2011. — Т. 6502. — С. 293–304. — (Lecture Notes in Computer Science). — doi:10.1007/978-3-642-18469-7_27.
- Balázs Keszegh, János Pach, Dömötör Pálvölgyi, Géza Tóth. Drawing cubic graphs with at most five slopes // Computational Geometry: Theory and Applications. — 2008. — Т. 40, вып. 2. — С. 138–147. — doi:10.1016/j.comgeo.2007.05.003.
- Seth Malitz, Achilleas Papakostas. On the angular resolution of planar graphs // SIAM Journal on Discrete Mathematics. — 1994. — Т. 7, вып. 2. — С. 172–183. — doi:10.1137/S0895480193242931.
- Ján Maňuch, Murray Patterson, Sheung-Hung Poon, Chris Thachuk. Graph Drawing: 18th International Symposium, GD 2010, Konstanz, Germany, September 21-24, 2010, Revised Selected Papers / Ulrik Brandes, Sabine Cornelsen. — Heidelberg: Springer, 2011. — Т. 6502. — С. 305–316. — (Lecture Notes in Computer Science). — doi:10.1007/978-3-642-18469-7_28.
- Padmini Mukkamala, Mario Szegedy. Geometric representation of cubic graphs with four directions // Computational Geometry: Theory and Applications. — 2009. — Т. 42, вып. 9. — С. 842–851. — doi:10.1016/j.comgeo.2009.01.005.
- Padmini Mukkamala, Dömötör Pálvölgyi. Graph Drawing: 19th International Symposium, GD 2011, Eindhoven, The Netherlands, September 21-23, 2011, Revised Selected Papers / Marc van Kreveld, Bettina Speckmann. — Springer, 2012. — Т. 7034. — С. 254–265. — (Lecture Notes in Computer Science). — doi:10.1007/978-3-642-25878-7_25.
- János Pach, Dömötör Pálvölgyi. Bounded-degree graphs can have arbitrarily large slope numbers // Electronic Journal of Combinatorics. — 2006. — Т. 13, вып. 1. — С. N1.
- János Pach, Micha Sharir. Combinatorial Geometry and Its Algorithmic Applications: The Alcalá Lectures. — American Mathematical Society, 2009. — Т. 152. — С. 126–127. — (Mathematical Surveys and Monographs).
- P. R. Scott. On the sets of directions determined by n points // American Mathematical Monthly. — 1970. — Т. 77. — С. 502–505. — doi:10.2307/2317384.
- G. A. Wade, J.-H. Chu. Drawability of complete graphs using a minimal slope set // The Computer Journal. — 1994. — Т. 37, вып. 2. — С. 139–142. — doi:10.1093/comjnl/37.2.139.