Число отрезков

Число отрезков — инвариант узла, определяющий наименьшее число прямых «отрезков», которые, соединяясь конец к концу, образуют узел. Говоря более строго, числом отрезков геометрического узла ${\displaystyle K}$ называется число звеньев в минимальной по числу звеньев ломаной, лежащей в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\subset \mathbb {R} ^{3}\cup \{\infty \}\cong S^{3}}$ и объемлюще-изотопной геометрическому узлу ${\displaystyle K}$. Данная функция на множестве всех геометрических узлов по определению постоянна на объемлюще-изотопических классах геометрических узлов, а значит можно говорить о числе отрезков как об инварианте узла. Число отрезков узла ${\displaystyle K}$ обозначается через ${\displaystyle {\textrm {stick}}(K)}$.^[1][2]

Наименьшее число отрезков для нетривиального узла равно ${\displaystyle 6}$. Число отрезков, как и прочие меры сложности узлов, трудновычислимы, поэтому известно не так много точных значений^[3]. В 1997 году Гё Тэк Чин определил^[4] число отрезков торического узла ${\displaystyle {\textrm {T}}(p,q)}$ для близких ${\displaystyle p\,{\text{и}}q}$:

• ${\displaystyle {\textrm {stick}}({\textrm {T}}(p,q))=2q}$, если ${\displaystyle 2\leqslant p<q\leqslant 2p}$,
• ${\displaystyle {\textrm {stick}}({\textrm {T}}(r,r))=3r}$, если ${\displaystyle r\geqslant 1}$,
• ${\displaystyle {\textrm {stick}}({\textrm {T}}(r,2r))=4r-1}$, если ${\displaystyle r\geqslant 1}$.

Подобный результат, но для меньшей области параметров, примерно в то же время независимо получила исследовательская группа, возглавляемая Колином Адамсом^{[англ.][5]}. Им, например, удалось доказать, что:

• ${\displaystyle {\textrm {stick}}({\textrm {T}}(r,r-1))=2r}$, если ${\displaystyle r\geqslant 2}$.

Если ${\displaystyle K^{n}}$ — произвольная связная сумма, состоящая из ${\displaystyle n}$ трилистников (не обязательно только левых или только правых), то^[5]:

${\displaystyle {\text{stick}}(K^{n})=2n+4}$.

Число отрезков связной суммы узлов ограничено сверху суммой чисел отрезков слагаемых, а более точно^[4][5]:

${\displaystyle {\text{stick}}(K_{1}\#K_{2})\leqslant {\text{stick}}(K_{1})+{\text{stick}}(K_{2})-3}$.

Если ${\displaystyle r}$ и ${\displaystyle s}$ — взаимно простые целые числа, причем ${\displaystyle 2\leqslant r<s}$, то^[4]:

${\displaystyle {\text{stick}}({\textrm {T}}(r,s))\geqslant {\text{min}}\{4r,2s\}}$.

Число отрезков узла ${\displaystyle K}$ связано с его числом перекрёстков ${\displaystyle {\textrm {cr}}(K)}$ следующим неравенством^[6][7][8]:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}(7+{\sqrt {8\,{\textrm {cr}}(K)+1}})\leqslant {\text{stick}}(K)\leq {\frac {3}{2}}({\textrm {cr}}(K)+1)}$.

• Adams C. C. The Knot Book. An Elementary Introduction to the Mathematical Theory of Knots (англ.). — New York: American Mathematical Society, 2004. — 307 p. — ISBN 978-0821836781.

• Adams C. C., Flapan, E., Henrich, A., Kauffman, L. H., Ludwig, L. D., Nelson, S. Encyclopedia of Knot Theory (англ.). — Chapman and Hall/CRC, 2020. — 954 p. — ISBN 978-1138297845.

• Adams C. C., Brennan B. M., Greilsheimer D. L., Woo A. K. Stick numbers and composition of knots and links (англ.) // Journal of Knot Theory and its Ramifications. — 1997. — Vol. 6, iss. 2. — P. 149—161. — doi:10.1142/S0218216597000121.

• Calvo J. A. Geometric knot spaces and polygonal isotopy (англ.) // Journal of Knot Theory and its Ramifications. — 2001. — Vol. 10, iss. 2. — P. 245—267. — doi:10.1142/S0218216501000834.
• Jin G. T. Polygon indices and superbridge indices of torus knots and links (англ.) // Journal of Knot Theory and its Ramifications. — 1997. — Vol. 6, iss. 2. — P. 281—289. — doi:10.1142/S0218216597000170.

• Negami S. Ramsey theorems for knots, links and spatial graphs (англ.) // Transactions of the American Mathematical Society. — 1991. — Vol. 324, iss. 2. — P. 527—541. — doi:10.2307/2001731.

• Huh Y., Oh S. An upper bound on stick number of knots (англ.) // Journal of Knot Theory and its Ramifications. — 2011. — Vol. 20, iss. 5. — P. 741—747. — doi:10.1142/S0218216511008966.

• Weisstein, Eric W. Stick number (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• «Stick numbers for minimal stick knots», KnotPlot Research and Development Site.
• Adams C. C. Why knot: knots, molecules and stick numbers // Plus Magazine. — 2005.