Число очередей графа

Перейти к навигацииПерейти к поиску
Граф де Брёйна. Для приведённого упорядочения деление рёбер на два множества, идущих слева и справа от вершин, является схемой 2 очередей этого графа.

Число очередей графа — это инвариант графа, определённый аналогично стэковому числу (толщине книги) и использующий упорядочение FIFO (первый вошёл, первый вышел, очередь) вместо упорядочения LIFO (последним вошёл, первым вышел, стэк).

Определение

Представление графа в виде очередей (макет очередей) для заданного графа определяется полным упорядочением вершин графа вместе с разложением рёбер графа на несколько «очередей». Требуется, чтобы множество рёбер каждой очереди не имели вложенности по порядку вершин в том смысле, что если ab и cd являются двумя рёбрами в одной очереди, то не должно быть a < c < d < b. Число очередей qn(G) графа G — это минимальное число очередей представления графа в виде очередей[1].

Используя макет очередей графа, можно перебрать рёбра отдельной очереди, используя стандартную структуру очередей путём перебора вершин в заданном порядке и, когда достигаем вершины, выбираем все рёбра, для которых вершина является второй вершиной дуги и заносим в очередь дуги, для которых вершина является первой. Условие отсутствие вложенности обеспечивает, что при достижении вершины все рёбра, имеющие эту вершину в качестве конечной, находятся в очереди и готовы к выборке. Разложение графа на очереди с описанными свойствами можно считать альтернативным определением[1]. Другое эквивалентное определение макета очередей использует понятие вложения заданного графа в цилиндр с вершинами, расположенными на прямой, находящейся на поверхности цилиндра, а каждое ребро огибает цилиндр. Рёбра, включённые в одну очередь, не должны пересекаться, но пересечения рёбер различных очередей разрешены[2].

Макет очередей был определён Хитом и Розенбергом[1] по аналогии с предыдущей работой о книжных вложениях графах, которые определяются тем же способом с использованием стэков вместо очередей. Как они отметили, эти макеты также связаны с более ранними работами о сортировке перестановок с использованием параллельных очередей. Макет очередей был мотивирован требованиям разработки интегральных схем и управления связей в распределённых алгоритмах[англ.][1].

Классы графов с ограниченным числом очередей

Любое дерево имеет число очередей, равное 1 с упорядочением вершин, заданным поиском в ширину[3]. У псевдолесов и решёток число очередей также равно 1[4]. Число очередей внешнепланарных графов не превосходит 2. Солнечный 3-граф (треугольник, каждое ребро которого заменено треугольником) является примером внешнепланарного графа, число очередей которого равно в точности 2[5][6]. Число очередей параллельно-последовательного графа не превосходит 3[6].

Число очередей бинарных графов де Брёйна равно 2[7]. Число очередей графа d-мерного гиперкуба не превосходит d − 1 [8]. Число очередей полных графов Kn и полных двудольных графов Ka,b известно точно — оно равно и соответственно[9].

Нерешённые проблемы математики: Имеет ли все планарные графы ограниченное число очередей?

Любой граф с одной очередью является планарным графом с «дуговым уровневым» планарным вложением, в котором вершины располагаются на параллельных прямых (уровнях), а каждое ребро либо соединяет вершины двух соседних уровней, либо образует дугу, соединяющую две вершины на том же самом уровне. И обратно, любой дуговой уровневый планарный граф имеет макет с одной очередью[10]. Хит, Лейтон и Розенберг[5] высказали предположение, что любой планарный граф имеет ограниченное число очередей, но подтверждения этому высказыванию пока нет. Если число очередей планарных графов ограничено, то же самое верно и для 1-планарных графов и, более того, для k-планарных графов[11]. Наиболее сильная граница, известная для числа очередей планарных графов, не является константой, она равна O(log n) [12] Полилогарифмические границы числа очередей известны для графов с ограниченным родом и более общими графами из минорно замкнутых семейств[13].

Если использовать вариант числа очередей, называемый «сильным числом очередей», число очередей произведения графов можно ограничить функцией от числа очередей и строгого числа очередей множителей произведения[14].

Связанные инварианты

Графы с малым числом очередей являются разреженными — графы с n вершинами, имеющие одну очередь, имеют не более 2n − 3 рёбер[15], а более общего вида графы с числом очередей q имеют не более 2qnq(2q + 1) рёбер[16]. Отсюда следует, что эти графы имеют малое хроматическое число. В частности графы с одной очередью имеют раскраску в 3 цвета, а графы с числом очередей q могут потребовать не менее 2q + 1 и не более 4q цветов[16]. В обратную сторону, граница числа рёбер влечёт за собой более низкую границу числа очередей графа — число очередей графов с n вершинами и m рёбрами не превосходит O(√m) [17]. Граница близка к строгой, поскольку для случайных d-регулярных графов число очередей с высокой вероятностью равно[5][18]

Нерешённые проблемы математики: Должен ли любой граф с ограниченным числом очередей иметь ограниченную книжную толщину и наоборот?

Графы с одной очередью имеют книжную толщину, не превышающую двух[5]. Для любого фиксированного порядка вершин, произведение толщины книги и числа очередей для этого порядка вершин не менее ширины сечения графа, делённого на максимальную степень вершин[5]. Толщина книги может быть много больше числа очередей — троичные графы Хэмминга имеют логарифмическое число очередей, но полиномиальную толщину книг[5]. Остаётся неизвестным, ограничена ли книжная толщина какой-либо функцией от числа очередей. Хит, Лейтон и Розенберг[5] высказали предположение, что число очередей не более чем линейно зависит от толщины книг, но никаких достижений в этом направлении нет. Известно, что если все двудольные графы с 3-страничными книжными вложениями имеют ограниченное число очередей, то все графы с ограниченной книжной толщиной имеют ограниченное число очередей[11].

Генли и Хит[19] задали вопрос, ограничено ли число очередей графа функцией от его древесной ширины, и цитировали неопубликованную диссертацию С. В. Пеммараджу в качестве свидетельства отрицательного ответа — планарные 3-деревья[англ.], появляющиеся в этом контексте, имеют неограниченное число очередей. Однако число очередей, как было показано, ограничено (дважды экспоненциальной) функцией от древесной ширины[20]

Вычислительная сложность

Определение числа очередей графа является NP-полной задачей. NP-полной задачей является даже проверка, что число очередей равно единице[21].

Однако, если порядок вершин предварительно задан, то оптимальное число очередей равно максимальному числу рёбер в k-радуге, множестве из k рёбер, в каждой паре которых одно ребро вложено в другое (в описанном выше смысле). Разделение рёбер на очереди может быть осуществлено путём включения ребра e, являющегося внешним ребром i-радуги (но не большей радуги) в i-ю очередь. Можно построить оптимальный макет за время O(m log log n), где n означает число вершин графа, а m — число рёбер[22].

Графы с ограниченным числом очередей имеют также ограниченное расширение, что означает, что их неглубокие миноры являются разреженными графами с отношением рёбер к вершинам (или, эквивалентно, вырожденностью или древесностью), ограниченным функцией от числа очередей и глубины минора. Как следствие, некоторые алгоритмические задачи, включая задачу изоморфизма графов для графов ограниченного размера, имеют алгоритмы линейного времени исполнения для таких графов[23][24]. Более обще, ввиду ограниченного расширения можно проверить за линейное время, является ли верным утверждение логики первого порядка для графа с ограниченным числом очередей[25].

Приложение в визуализации графов

Хотя макеты очередей не обязательно дают хорошие двумерные визуализации, они используются для трёхмерного представления графов. В частности, граф G имеет ограниченное число очередей тогда и только тогда, когда можно расположить вершины графа G на трёхмерной решётке размером O(n) × O(1) × O(1) таким образом, что никакие два ребра не пересекаются[26] Например, графы де Брёйна и графы с ограниченной древесной шириной имеют трёхмерное вложение линейного объёма[27][28].

Логарифмические или полилогарифмические границы числа очередей преобразуются при подобных вложениях в трёхмерные решётки в почти линейные объёмы, решётка в одном направлении будет иметь линейный размер, а в двух других — полилогарифмический. Планарные графы, графы с ограниченным родом и графы с ограниченной локальной древесной шириной имеют вложения объёма O(n log n) [12], в то время как графы замкнутых по минорам семейств имеют объём O(n logO(1) n)[13].

Примечания

  1. 1 2 3 4 Heath, Rosenberg, 1992.
  2. Auer, Bachmaier, Brandenburg, Brunner, 2011.
  3. Heath, Rosenberg, 1992, с. Proposition 4.1.
  4. Heath, Rosenberg, 1992, с. Propositions 4.2, 4.3.
  5. 1 2 3 4 5 6 7 Heath, Leighton, Rosenberg, 1992.
  6. 1 2 Rengarajan, Veni Madhavan, 1995.
  7. Heath, Rosenberg, 1992, с. Proposition 4.6.
  8. Heath, Rosenberg, 1992, Proposition 4.10; Hasunuma, Hirota, 2007; Pai, Chang, Wang, 2008; Gregor, Škrekovski, Vukašinović, 2011.
  9. Heath, Rosenberg, 1992, с. Propositions 4.7, 4.8.
  10. Heath, Rosenberg, 1992, с. Theorem 3.2.
  11. 1 2 Dujmović, Wood, 2005.
  12. 1 2 Дуймович (Dujmović 2015), улучшение более ранней границы Ди Батисты, Фрати и Паха (Di Battista, Frati, Pach 2013).
  13. 1 2 Dujmović, Morin, Wood, 2013.
  14. Wood, 2005.
  15. Heath, Rosenberg, 1992, с. Theorem 3.6.
  16. 1 2 Dujmović, Wood, 2004.
  17. Heath, Leighton, Rosenberg, 1992. Алгоритм полиномиального времени для поиска макета с близким этому числом очередей дали Шароки и Ши (Shahrokhi, Shi 2000). Дуймович и Вуд (Dujmović, Wood 2004) улучшил константу в этой границе до em, где e — основание натурального логарифма.
  18. Wood, 2008.
  19. Ganley, Heath, 2001.
  20. Dujmović, Wood, 2003; Dujmović, Morin, Wood, 2005. См. статью Вуда (Wood 2002) о более слабом предварительном результате, ограничивающем число очередей путевой шириной или комбинацией древесной ширины и степени графа.
  21. Heath, Rosenberg, 1992, с. Corollary 3.9.
  22. Heath, Rosenberg, 1992, с. Theorem 2.3.
  23. Nešetřil, Ossona de Mendez, Wood, 2012.
  24. Nešetřil, Ossona de Mendez, 2012, с. 321–327.
  25. Nešetřil, Ossona de Mendez, 2012, с. 401, Theorem 18.2.
  26. Wood, 2002; Dujmović, Pór, Wood, 2004; Dujmović, Morin, Wood, 2005. См. Di Giacomo, Meijer, 2004 for tighter bounds on the grid dimensions for graphs of small queue number.
  27. Dujmović, Wood, 2003.
  28. Dujmović, Morin, Wood, 2005.

Литература

  • Christopher Auer, Christian Bachmaier, Franz Josef Brandenburg, Wolfgang Brunner, Andreas Gleißner. Graph Drawing: 18th International Symposium, GD 2010, Konstanz, Germany, September 21-24, 2010, Revised Selected Papers. — Heidelberg: Springer, 2011. — Т. 6502. — С. 68–79. — (Lecture Notes in Computer Science). — doi:10.1007/978-3-642-18469-7_7.
  • Giuseppe Di Battista, Fabrizio Frati, János Pach. On the queue number of planar graphs // SIAM Journal on Computing. — 2013. — Т. 42, вып. 6. — С. 2243–2285. — doi:10.1137/130908051.
  • Emilio Di Giacomo, Henk Meijer. Graph Drawing: 11th International Symposium, GD 2003 Perugia, Italy, September 21-24, 2003 Revised Papers. — Berlin: Springer, 2004. — Т. 2912. — С. 214–225. — (Lecture Notes in Computer Science). — doi:10.1007/978-3-540-24595-7_20.
  • Vida Dujmović. Graph layouts via layered separators // Journal of Combinatorial Theory. — 2015. — Т. 110. — С. 79–89. — doi:10.1016/j.jctb.2014.07.005. — arXiv:1302.0304..
  • Vida Dujmović, Pat Morin, David R. Wood. Layout of graphs with bounded tree-width // SIAM Journal on Computing. — 2005. — Т. 34, вып. 3. — С. 553–579. — doi:10.1137/S0097539702416141. — arXiv:cs/0406024..
  • Vida Dujmović, Pat Morin, David R. Wood. Proceedings of the 54th IEEE Symposium on Foundations of Computer Science (FOCS ’13). — 2013. — С. 280–289. — doi:10.1109/FOCS.2013.38..
  • Vida Dujmović, Attila Pór, David R. Wood. Track layouts of graphs // Discrete Mathematics & Theoretical Computer Science. — 2004. — Т. 6, вып. 2. — С. 497–521..
  • Vida Dujmović, David R. Wood. Graph-theoretic Concepts in Computer Science: 29th International Workshop, WG 2003. Elspeet, The Netherlands, June 19-21, 2003. Revised Papers. — Berlin: Springer, 2003. — Т. 2880. — С. 205–217. — (Lecture Notes in Computer Science). — doi:10.1007/978-3-540-39890-5_18..
  • Vida Dujmović, David R. Wood. On linear layouts of graphs // Discrete Mathematics & Theoretical Computer Science. — 2004. — Т. 6, вып. 2. — С. 339–357..
  • Vida Dujmović, David R. Wood. Stacks, queues and tracks: layouts of graph subdivisions // Discrete Mathematics & Theoretical Computer Science. — 2005. — Т. 7, вып. 1. — С. 155–201..
  • Joseph L. Ganley, Lenwood S. Heath. The pagenumber of k-trees is O(k) // Discrete Applied Mathematics. — 2001. — Т. 109, вып. 3. — С. 215–221. — doi:10.1016/S0166-218X(00)00178-5..
  • Petr Gregor, Riste Škrekovski, Vida Vukašinović. On the queue-number of the hypercube // Electronic Notes in Discrete Mathematics. — 2011. — Т. 38. — С. 413–418. — doi:10.1016/j.endm.2011.09.067..
  • Toru Hasunuma, Misa Hirota. An improved upper bound on the queuenumber of the hypercube // Information Processing Letters. — 2007. — Т. 104, вып. 2. — С. 41–44. — doi:10.1016/j.ipl.2007.05.006..
  • Lenwood S. Heath, Frank Thomson Leighton, Arnold L. Rosenberg. Comparing queues and stacks as mechanisms[sic] for laying out graphs // SIAM Journal on Discrete Mathematics. — 1992. — Т. 5, вып. 3. — С. 398–412. — doi:10.1137/0405031..
  • Lenwood S. Heath, Arnold L. Rosenberg. Laying out graphs using queues // SIAM Journal on Computing. — 1992. — Т. 21, вып. 5. — С. 927–958. — doi:10.1137/0221055..
  • Jaroslav Nešetřil, Patrice Ossona de Mendez. Sparsity: Graphs, Structures, and Algorithms. — Springer, 2012. — Т. 28. — (Algorithms and Combinatorics). — ISBN 978-3-642-27874-7. — doi:10.1007/978-3-642-27875-4..
  • Jaroslav Nešetřil, Patrice Ossona de Mendez, David R. Wood. Characterisations and examples of graph classes with bounded expansion // European Journal of Combinatorics. — 2012. — Т. 33, вып. 3. — С. 350–373. — doi:10.1016/j.ejc.2011.09.008. — arXiv:0902.3265.
  • Kung-Jui Pai, Jou-Ming Chang, Yue-Li Wang. A note on “An improved upper bound on the queuenumber of the hypercube” // Information Processing Letters. — 2008. — Т. 108, вып. 3. — С. 107–109. — doi:10.1016/j.ipl.2008.04.019.
  • S. Rengarajan, C. E. Veni Madhavan. Computing and Combinatorics: First Annual International Conference, COCOON '95 Xi'an, China, August 24–26, 1995, Proceedings. — Berlin: Springer, 1995. — Т. 959. — С. 203–212. — (Lecture Notes in Computer Science). — doi:10.1007/BFb0030834..
  • Farhad Shahrokhi, Weiping Shi. On crossing sets, disjoint sets, and pagenumber // Journal of Algorithms. — 2000. — Т. 34, вып. 1. — С. 40–53. — doi:10.1006/jagm.1999.1049.
  • David R. Wood. FST TCS 2002: Foundations of Software Technology and Theoretical Computer Science, 22nd Conference Kanpur, India, December 12–14, 2002, Proceedings. — Berlin: Springer, 2002. — Т. 2556. — С. 348–359. — (Lecture Notes in Computer Science). — doi:10.1007/3-540-36206-1_31.
  • David R. Wood. Queue layouts of graph products and powers // Discrete Mathematics & Theoretical Computer Science. — 2005. — Т. 7, вып. 1. — С. 255–268..
  • David R. Wood. Bounded-degree graphs have arbitrarily large queue-number // Discrete Mathematics & Theoretical Computer Science. — 2008. — Т. 10, вып. 1. — С. 27–34. — arXiv:math/0601293. (недоступная ссылка).

Ссылки