Эйлерово частично упорядоченное множество
В комбинаторике эйлерово частично упорядоченное множество — это градуированное частично упорядоченное множество, в котором любой нетривиальный интервал имеет одно и то же число элементов чётного и нечётного рангов. Эйлерово частично упорядоченное множество, являющееся решёткой, называют эйлеровой решёткой. Название дано в честь известного швейцарского, прусского и российского математика Леонарда Эйлера. Эйлеровы решётки обобщают решётки граней выпуклых многогранников и многие современные исследования посвящены расширению известных результатов комбинаторики многогранников, таких как различные ограничения на f-векторы выпуклых симплициальных многогранников, на эти более общие случаи.
Примеры
- Решётка граней выпуклого многогранника, состоящая из его граней, вместе с наименьшим элементом, пустой гранью, и наибольшим элементом, самим многогранником, является эйлеровой решёткой. Условие чётности/нечётности вытекает из формулы Эйлера.
- Любая симплициальная обобщённая гомологическая сфера является эйлеровой решёткой.
- Пусть — регулярный клеточный комплекс, такой, что является многообразием, эйлерова характеристика которого совпадает с эйлеровой характеристикой сферы той же размерности (это условие пусто, если размерность нечётна). Тогда частично упорядоченное множество клеток комплекса , порядок на которых задаётся включением их замыканий, является эйлеровым частично упорядоченным множеством.
- Пусть — группа Коксетера, снабженная порядком Брюа. Тогда является эйлеровым частично упорядоченным множеством.
Свойства
- Условия из определения эйлерового частичного упорядоченного множества можно эквивалентно переформулировать в терминах функции Мёбиуса:
- для всех
- Пусть – эйлерово частично упорядоченное множество с наибольшим элементом, тогда двойственное к нему частично упорядоченное множество, полученное обращением частичного порядка на , тоже является эйлеровым.
- В 1997 году Ричард Стэнли ввёл понятие торического -вектора для ранжированного частично упорядоченного множества. Это понятие обобщает понятие -вектора для симплициального многогранника.[1] Он доказал, что уравнения Дена — Сомервиля
- выполняются для любых эйлеровых частично упорядоченных множеств ранга .[2] Однако, для эйлеровых частично упорядоченных множеств, строящихся по регулярным клеточным комплексам или выпуклым многогранникам, торический -вектор и сам не определяет однозначно число клеток или граней различных размерностей, и не определяется с помощью такой информации о клетках или гранях. Торический -вектор на данный момент не имеет прямой комбинаторной интерпретации.
- Звездное произведение эйлеровых частично упорядоченных множеств снова является эйлеровым частично упорядоченным множеством.
Примечания
- ↑ Stanley, 1997, с. 138.
- ↑ Stanley, 1997, с. Theorem 3.14.9.
Литература
- Richard P. Stanley. Enumerative Combinatorics. — Cambridge University Press, 1997. — Т. 1. — ISBN 0-521-55309-1.