Энстрофия

Перейти к навигации Перейти к поиску

Механика сплошных сред

Сплошная среда
Классическая механика Закон сохранения массы · Закон сохранения импульса
Теория упругости Напряжение · Тензор · Твёрдые тела · Упругость · Пластичность · Закон Гука · Реология · Вязкоупругость
Гидродинамика Жидкость · Гидростатика · Гидродинамика · Вязкость · Ньютоновская жидкость · Неньютоновская жидкость · Поверхностное натяжение
Основные уравнения Уравнение непрерывности · Уравнение Эйлера · Уравнение Громеки — Лэмба · Уравнение Бернулли · Интеграл Коши — Лагранжа · Уравнения Навье — Стокса · Уравнение вихря · Уравнение диффузии · Закон Гука
См. также: Портал:Физика

В гидродинамике энстрофия E может интерпретироваться как другой тип потенциальной плотности^[англ.]; или, более конкретно, количество, непосредственно связанное с кинетической энергией в модели потока, которое соответствует эффектам диссипации в жидкости. Это особенно полезно при изучении турбулентных течений, и его часто идентифицируют при изучении двигателя, а также в области теории горения.

Для заданной области $\Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}$ и однократно слабо дифференцируемого векторного поля $u\in H^{1}(\mathbb {R} ^{n})^{n}$ , которое представляет поток жидкости, такой как решение уравнений Навье-Стокса, его энстрофия определяется как:^[1]

{\mathcal {E}}(u):=\int _{\Omega }|\nabla \mathbf {u} |^{2}\,dx,

где $|\nabla \mathbf {u} |^{2}=\sum _{i,j=1}^{n}\left|\partial _{i}u^{j}\right|^{2}$ . Эта величина совпадает с квадратом полунормы $|\mathbf {u} |_{H^{1}(\Omega )^{n}}^{2}$ решения в пространстве Соболева $H^{1}(\Omega )^{n}$ .

В случае, когда поток несжимаемый или, что эквивалентно, $\nabla \cdot \mathbf {u} =0$ , энстрофия может быть описана как интеграл от квадрата завихренность $\mathbf {\omega }$ ,^[2]

{\mathcal {E}}({\boldsymbol {\omega }})\equiv \int _{\Omega }|{\boldsymbol {\omega }}|^{2}\,dx

или, с точки зрения скорости потока,

{\mathcal {E}}(\mathbf {u} )\equiv \int _{S}|\nabla \times \mathbf {u} |^{2}\,dS\,.

В контексте несжимаемых уравнений Навье-Стокса энстрофия проявляется в следующем полезном результате^[1]

{\frac {d}{dt}}\left({\frac {1}{2}}\int _{\Omega }|\mathbf {u} |^{2}\right)=-\nu {\mathcal {E}}(\mathbf {u} ).

Величина в скобках слева — это энергия потока, поэтому результат говорит о том, что энергия уменьшается пропорционально кинематической вязкости $\nu$ , умноженной на энстрофию.

Примечания

↑ ¹ ² .worldcat.org/oclc/56416088 Уравнения Навье-Стокса и турбулентность. — Cambridge : Cambridge University Press, 2001. — P. 28—29. — ISBN 0-511-03936-0. Архивная копия от 19 декабря 2019 на Wayback Machine
↑ Doering, C.R. and Gibbon, JD (1995). Прикладной анализ уравнений Навье-Стокса, с. 11, издательство Кембриджского университета, Кембридж. ISBN 052144568-X.

Источники

Umurhan, O. M.; Regev, O. (December 2004). "Hydrodynamic stability of rotationally supported flows: Linear and nonlinear 2D shearing box results". Astronomy and Astrophysics. 427 (3): 855—872. arXiv:astro-ph/0404020. Bibcode:2004A&A...427..855U. doi:10.1051/0004-6361:20040573. S2CID 15418079.
Weiss, John (March 1991). "The dynamics of enstrophy transfer in two-dimensional hydrodynamics". Physica D: Nonlinear Phenomena. 48 (2—3): 273—294. Bibcode:1991PhyD...48..273W. doi:10.1016/0167-2789(91)90088-Q.

Похожие исследовательские статьи

Ква́нтовая тео́рия по́ля (КТП) — раздел физики, изучающий поведение квантовых систем с бесконечно большим числом степеней свободы — квантовых полей; является теоретической основой описания микрочастиц, их взаимодействий и превращений. На языке КТП основываются физика высоких энергий и физика элементарных частиц, её математический аппарат используется в физике конденсированного состояния. КТП в виде Стандартной модели в настоящее время является единственной экспериментально подтверждённой теорией, способной описывать и предсказывать результаты экспериментов при достижимых в современных ускорителях высоких энергиях.

Уравне́ние Шрёдингера — линейное дифференциальное уравнение в частных производных, описывающее изменение в пространстве и во времени чистого состояния, задаваемого волновой функцией, в гамильтоновых квантовых системах.

Уравне́ния Ма́ксвелла — система уравнений в дифференциальной или интегральной форме, описывающих электромагнитное поле и его связь с электрическими зарядами и токами в вакууме и сплошных средах. Вместе с выражением для силы Лоренца, задающим меру воздействия электромагнитного поля на заряженные частицы, эти уравнения образуют полную систему уравнений классической электродинамики, называемую иногда уравнениями Максвелла — Лоренца. Уравнения, сформулированные Джеймсом Клерком Максвеллом на основе накопленных к середине XIX века экспериментальных результатов, сыграли ключевую роль в развитии представлений теоретической физики и оказали сильное, зачастую решающее влияние не только на все области физики, непосредственно связанные с электромагнетизмом, но и на многие возникшие впоследствии фундаментальные теории, предмет которых не сводился к электромагнетизму.

Ро́тор, рота́ция или вихрь — векторный дифференциальный оператор над векторным полем.

<span class="mw-page-title-main">Уравнения Навье — Стокса</span>

Уравне́ния Навье́ — Сто́кса — система дифференциальных уравнений в частных производных, описывающая движение вязкой ньютоновской жидкости. Уравнения Навье — Стокса являются одними из важнейших в гидродинамике и применяются в математическом моделировании многих природных явлений и технических задач. Названы по имени французского физика Анри Навье и британского математика Джорджа Стокса.

Дифференциа́льная фо́рма порядка $\text{[math]}$ , или $\text{[math]}$ -форма, — кососимметрическое тензорное поле типа $\text{[math]}$ на многообразии.

Теоре́ма Лиуви́лля, названная по имени французского математика Жозефа Лиувилля, является ключевой теоремой в математической физике, статистической физике и гамильтоновой механике. Теорема утверждает сохранение во времени фазового объёма, или плотности вероятности в фазовом пространстве.

Условное математическое ожидание в теории вероятностей — это среднее значение случайной величины при выполнении некоторого условия. Часто в качестве условия выступает фиксированное на некотором уровне значение другой случайной величины, которая может быть связана с данной. В этом случае условное математическое ожидание случайной величины $\text{[math]}$ при условии, что случайная величина $\text{[math]}$ приняла значение $\text{[math]}$ обозначается как $\text{[math]}$ , соответственно, ее можно рассматривать как функцию от $\text{[math]}$ . Эта функция называется функцией регрессии случайной величины $\text{[math]}$ на случайную величину $\text{[math]}$ и поэтому условное математическое ожидание обозначают как $\text{[math]}$ , то есть без указания фиксированного значения $\text{[math]}$ .

Теорема Стокса — одна из основных теорем дифференциальной геометрии и математического анализа об интегрировании дифференциальных форм, которая обобщает несколько теорем анализа. Названа в честь Дж. Г. Стокса.

Волновое уравнение в физике — линейное гиперболическое дифференциальное уравнение в частных производных, задающее малые поперечные колебания тонкой мембраны или струны, а также другие колебательные процессы в сплошных средах и электромагнетизме (электродинамике). Находит применение и в других областях теоретической физики, например при описании гравитационных волн. Является одним из основных уравнений математической физики.

Вихревое движение — движение жидкости или газа, при котором мгновенная угловая скорость вращения элементарных объёмов среды не равна нулю. Количественной мерой зави́хренности служит псевдовектор $\text{[math]}$ , где $\text{[math]}$ — вектор скорости жидкости; $\text{[math]}$ называют псевдовектором вихря или просто завихренностью.

Зада́ча Не́ймана, вторая краевая задача — в дифференциальных уравнениях краевая задача с заданными граничными условиями для производной искомой функции на границе области — так называемые граничные условия второго рода. По типу области задачи Неймана можно разделить на два типа: внутренние и внешние. Названа в честь Карла Неймана.

Существование и гладкость решений уравнений Навье — Стокса — одна из семи математических задач тысячелетия, сформулированных в 2000 году Математическим институтом Клэя.

Разрывный метод Галёркина — метод решения операторных уравнений, в основном дифференциальных уравнений. Является развитием классического метода конечных элементов (МКЭ), основанного на вариационной постановке Галёркина.

Уравне́ние Шви́нгера — Томона́ги, в квантовой теории поля, основное уравнение движения, обобщающее уравнение Шрёдингера на релятивистский случай.

<span class="mw-page-title-main">Уравнение вихря</span> дифференциальное уравнение в частных производных, описывающее эволюцию в пространстве и времени вихря скорости течения жидкости или газа

Уравне́ние ви́хря — дифференциальное уравнение в частных производных, описывающее эволюцию в пространстве и времени вихря скорости течения жидкости или газа. Под вихрем скорости (завихренностью) понимается ротор скорости $\text{[math]}$ . Уравнение вихря используется в гидродинамике, геофизической гидродинамике, астрофизической гидродинамике, в численном прогнозе погоды.

Концептуальные программы в физике — принятые в физике наиболее общие математические модели. Различные области физики имеют различные программы для моделирования состояний физических систем.

Теория Кирхгофа — Лява или теория пластин Кирхгофа — Лява — двумерная математическа модель упругого тела, которая используется для определения напряжений и деформаций в тонких пластинах, подверженных действию сил и моментов при малых изгибах. Эта теория является расширением теории балок Эйлера — Бернулли и была разработана в 1888 году Лявом с использованием постулатов, предложенных Кирхгофом. Теория предполагает, что срединная плоскость может использоваться для представления трёхмерной пластины в двухмерной форме.

Тождество Похожаева — это интегральное соотношение, которому удовлетворяют стационарные локализованные решения нелинейного уравнения Шредингера или нелинейного уравнения Клейна-Гордона. Оно было получено С.И. Похожаевым и аналогично теореме о вириале. Это соотношение также известно как теорема Д.Г. Деррика. Аналогичные тождества могут быть получены и для других уравнений математической физики.

Течение Хеле-Шоу определяется как течение жидкости или газа, происходящее между двумя параллельными плоскими пластинами, разделёнными узким зазором, удовлетворяющим определенным условиям. Оно названо в честь Генри Селби Хеле-Шоу, который изучал эту задачу в 1898 году. Различные проблемы механики жидкости можно аппроксимировать течениями Хеле-Шоу, поэтому исследование этих течений имеет важное значение. Аппроксимирование течением Хеле-Шоу особенно важно для микропотоков. Это связано с технологией производства, которая создает неглубокие плоские конфигурации, и обычно низкими числами Рейнольдса микропотоков.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.