Эпсилон-сеть

Пусть множество ${\displaystyle M}$ (относительно) компактно. Зафиксируем ${\displaystyle \varepsilon >0}$ и рассмотрим любой элемент ${\displaystyle x_{1}\in M}$. Если ${\displaystyle \rho (x,x_{1})<\varepsilon }$ для любого ${\displaystyle x\in M}$, то конечная ε-сеть из одного элемента уже построена. В противном случае найдется элемент ${\displaystyle x_{2}\in M}$ такой, что ${\displaystyle \rho (x_{2},x_{1})\geqslant \varepsilon }$. Имеются далее две возможности. Либо для любого ${\displaystyle x\in M}$ по крайней мере одно из чисел ${\displaystyle \rho (x,x_{1})}$ или ${\displaystyle \rho (x,x_{2})}$ меньше ${\displaystyle \varepsilon }$, и тогда конечная ε-сеть из двух элементов уже построена, либо найдется элемент ${\displaystyle x_{3}\in M}$ такой, что ${\displaystyle \rho (x_{3},x_{1})\geqslant \varepsilon }$, ${\displaystyle \rho (x_{3},x_{2})\geqslant \varepsilon }$, и так далее. Покажем, что процесс построения точек ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots }$ оборвется после конечного числа шагов, что означает, что конечная ε-сеть будет построена. Если бы это было не так, то получилась бы последовательность ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},\ldots }$, для которой ${\displaystyle \rho (x_{i},x_{j})\geqslant \varepsilon }$ при ${\displaystyle i\neq j}$. Но тогда ни сама последовательность ${\displaystyle \{x_{n}\},}$ ни любая её подпоследовательность не может сходиться, что противоречит компактности множества ${\displaystyle M}$. Итак, для компактного множества ${\displaystyle M}$ мы построили конечную ε-сеть, точки которой принадлежат самому множеству.

Пусть при любом ${\displaystyle \varepsilon >0}$ существует ε-сеть для множества ${\displaystyle M}$. Возьмем числовую последовательность ${\displaystyle {\mathcal {f}}\varepsilon _{n}{\mathcal {g}}}$, где ${\displaystyle \varepsilon _{n}\rightarrow 0}$ при ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$ и для каждого ${\displaystyle n}$ построим ${\displaystyle \varepsilon _{n}}$-сеть ${\displaystyle N_{n}=\{z_{1}^{(n)},z_{2}^{(n)},\ldots ,z_{m_{n}}^{(n)}\}}$. Рассмотрим произвольную последовательность ${\displaystyle \{x_{n}\}\in M}$. Так как ${\displaystyle N_{1}}$ есть ${\displaystyle \varepsilon _{1}}$-сеть для ${\displaystyle M}$, то, каков бы ни был элемент ${\displaystyle x\in M}$, будем иметь, что ${\displaystyle \rho (x,z_{i}^{(1)})<\varepsilon _{1}}$ для хотя бы одного элемента ${\displaystyle z_{i}^{(1)}\in N_{1}}$. Поэтому любой элемент ${\displaystyle x\in M}$ попадает хотя бы в один шар ${\displaystyle S(z_{i}^{(1)},\varepsilon _{1}),i=1,2,\ldots ,m_{1}}$, то есть все множество ${\displaystyle M}$, а тем более вся последовательность ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ разместится в этих шарах. Так как шаров конечное число, а последовательность ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ бесконечна, то найдется хотя бы один шар ${\displaystyle S(z_{i}^{(1)},\varepsilon _{1})}$, который будет содержать бесконечную подпоследовательность ${\displaystyle \{x_{n}^{(1)}\}}$ нашей последовательности. Это рассуждение можно повторить и для ${\displaystyle N_{m},m=2,3,\ldots }$. Составим диагональную подпоследовательность ${\displaystyle x_{1}^{(1)},x_{2}^{(2)},\ldots ,x_{k}^{(k)},\ldots }$. Покажем, что эта последовательность сходится в себе. Так как ${\displaystyle x_{k}^{(k)}}$ и ${\displaystyle x_{k+p}^{(k+p)}}$ при ${\displaystyle p>0}$ входят в ${\displaystyle k}$-ю подпоследовательность, а ${\displaystyle k}$-я подпоследовательность содержится в шаре ${\displaystyle S(z_{i}^{(k)},\varepsilon _{k})}$, то ${\displaystyle \rho (x_{k+p}^{(k+p)},x_{k}^{(k)})\leqslant \varepsilon _{k}\rightarrow 0}$ при ${\displaystyle k\rightarrow \infty }$. По предположению, пространство ${\displaystyle X}$ полное. Поэтому из сходимости в себе последовательности ${\displaystyle \{x_{k}^{(k)}\}}$ следует её сходимость к некоторому пределу, а это и доказывает возможность выделения из любой последовательности ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ сходящейся подпоследовательности, то есть (относительная) компактность множества ${\displaystyle M.}$^[1]