Эрмитова форма

Перейти к навигацииПерейти к поиску

Эрмитова форма — естественный аналог понятия симметричной билинейной формы для комплексных векторных пространств. Для эрмитовых форм верны аналоги многих свойств симметрических форм: приведение к каноническому виду, понятие положительной определенности и критерий Сильвестра[1].

Определение

Эрмитова форма — это полуторалинейная форма от двух векторов векторного пространства над полем со значениями в этом поле, обладающая свойством симметричности[1] :

Таким образом, полный набор условий, определяющих эрмитову форму, состоит в следующем:

Свойства

Из условия эрмитовой симметричности немедленно вытекает факт вещественности величины . При этом (вещественнозначная) функция на комплексном векторном пространстве V называется квадратично-эрмитовой. Имеет место и обратный факт, который может быть сформулирован как критерий того, что полуторалинейная форма является эрмитовой:

Теорема[1]. Полуторалинейная форма является эрмитовой тогда и только тогда, когда связанная с ней функция принимает только вещественные значения.

В случае выполнения дополнительного условия

эрмитова форма f(x,y) и квадратично-эрмитова функция называются положительно определёнными.

Литература

  • Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре М.: Наука, 1971.
  • Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.
  • А.И. Кострикин Введение в алгебру часть 2 - линейная алгебра, - Физматлит, 2000

Примечания

  1. 1 2 3 Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия. — гл. VI, § 6.3. — М.: Физматлит, 2009.