Эрмитово сопряжённая матрица

Эрми́тово сопряжённая ма́трица (сопряжённо-транспони́рованная матрица) — матрица ${\displaystyle A^{*}}$ с комплексными элементами, полученная из исходной матрицы ${\displaystyle A}$ транспонированием и заменой каждого элемента комплексно сопряжённым ему.

Например, если:

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}3+i&5\\2-2i&i\end{bmatrix}}}$

то:

${\displaystyle A^{*}={\begin{bmatrix}3-i&2+2i\\5&-i\end{bmatrix}}}$.

Эрмитово сопряжённые матрицы во многом играют ту же роль при изучении комплексных векторных пространств, что и транспонированные матрицы в случае вещественных пространств. Обобщение понятия эрмитово сопряжённой матрицы на бесконечномерные пространства — сопряжённый оператор.

Если исходная матрица ${\displaystyle A}$ имеет размер ${\displaystyle m\times n}$, то эрмитово сопряжённая к ${\displaystyle A}$ матрица ${\displaystyle A^{*}}$ будет иметь размер ${\displaystyle n\times m}$, а её ${\displaystyle (i,j)}$-й элемент будет равен:

${\displaystyle \left(A^{*}\right)_{ij}={\overline {A_{ji}}}}$,

где ${\displaystyle {\overline {z}}}$ обозначает комплексно сопряжённое число к ${\displaystyle z}$ (сопряжённое число к ${\displaystyle a+bi}$ есть ${\displaystyle a-bi}$, где ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ — вещественные числа).

Другая запись определения:

${\displaystyle A^{*}=\left({\overline {A}}\right)^{\text{T}}={\overline {{A}^{\text{T}}}}}$.

Эрмитово сопряжённую матрицу обычно обозначают как ${\displaystyle A^{*}}$ или ${\displaystyle A^{H}}$ (от англ. Hermitian — эрмитова), но иногда применяются и другие обозначения, в частности, ${\displaystyle A^{\dagger }}$ (в квантовой механике) и ${\displaystyle A^{+}}$ (но редко используется, так как может быть спутано с обозначением для псевдообратной матрицы).

Если матрица ${\displaystyle A}$ состоит из вещественных чисел, то эрмитово сопряжённая к ней матрица — это просто транспонированная матрица ${\displaystyle A^{*}=A^{T}}$, если ${\displaystyle a_{ij}\in \mathbb {R} }$.

Для квадратных матриц существует набор связанных определений — ${\displaystyle A}$ называется:

• эрмитовой, если ${\displaystyle A^{*}=A}$;
• антиэрмитовой или косоэрмитовой, если ${\displaystyle A^{*}=-A}$;
• нормальной, если ${\displaystyle A^{*}A=AA^{*}}$;
• унитарной, если ${\displaystyle A^{*}A=AA^{*}=I}$, где ${\displaystyle I}$ — единичная матрица.

Свойства антиэрмитовых, нормальных и унитарных матриц могут быть выражены через свойства эрмитовых матриц и наоборот.

Взаимодействия с операциями матричной алгебры:

• ${\displaystyle (A+B)^{*}=A^{*}+B^{*}}$ для любых двух матриц ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ одинаковых размеров;
• ${\displaystyle (cA)^{*}={\overline {c}}A^{*}}$ для любого комплексного скаляра ${\displaystyle c\in \mathbb {C} }$;
• ${\displaystyle (AB)^{*}=B^{*}A^{*}}$ для любых матриц ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$, таких, что определено их произведение ${\displaystyle AB}$ (в правой части равенства порядок перемножения матриц меняется на противоположный);
• ${\displaystyle (A^{*})^{*}=A}$ для любой матрицы ${\displaystyle A}$.

Собственные значения, определитель и след меняются на сопряжённые у эрмитово сопряжённой матрицы, по сравнению с исходной.

Матрица ${\displaystyle A}$ обратима тогда и только тогда, когда обратима матрица ${\displaystyle A^{*}}$; при этом:

${\displaystyle (A^{*})^{-1}=(A^{-1})^{*}}$

${\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,A^{*}y\rangle }$

для любой матрицы ${\displaystyle A}$ размера ${\displaystyle m\times n}$ и любых векторов ${\displaystyle x\in \mathbb {C} ^{n}}$ и ${\displaystyle y\in \mathbb {C} ^{m}}$. Обозначение ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ обозначает стандартное скалярное произведение векторов в комплексном векторном пространстве.

Матрицы ${\displaystyle AA^{*}}$ и ${\displaystyle A^{*}A}$ являются эрмитовыми и положительно-полуопределёнными для любой матрицы ${\displaystyle A}$ (необязательно квадратной). Если ${\displaystyle A}$ квадратная и невырожденная, то эти две матрицы будут положительно-определёнными.

• Weisstein, Eric W. Conjugate Transpose (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.