Эффект Лутца — Келкера
Эффект Лутца—Келкера, смещение Лутца—Келкера (англ. Lutz–Kelker bias) — систематическое смещение (систематическая погрешность), возникающее вследствие предположения о том, что количество наблюдаемых звёзд возрастает прямо пропорционально квадрату расстояния. В частности, данное смещение приводит к тому, что измеренные значения параллакса звёзд оказываются выше истинных значений. При измеренном параллаксе и его неопределённости как более близкие, так и более далёкие звёзды в пределах неопределённостей попадают в один и тот же интервал значений параллаксов. Но в сферических слоях на больших расстояниях расположено больше объектов, что приводит к смещению результатов измерений, вследствие чего, например, вычисляемые значения светимостей и расстояний окажутся заниженными. Первое описание эффекта было дано в статье Томаса Лутца (англ. Thomas E. Lutz) и Дугласа Келкера (англ. Douglas H. Kelker).[1] Существование данного смещения и необходимость коррекции оценок измеренных величин стали особо актуальными после высокоточных измерений параллаксов, осуществлённых спутником Hipparcos.
При данном значении параллакса и известной неопределённости звёзды как более близкие, так и более далёкие, вследствие неопределённости измерения могут оказаться имеющими одинаковое значение измеренного параллакса. Если предположить однородное распределение звёзд, то количество звёзд в расчёте на единицу параллакса будет пропорционально (здесь показывает истинное значение параллакса), и, следовательно, на больших расстояниях в единичную сферическую оболочку попадёт большее количество звёзд. В результате у большего количества звёзд истинное значение параллакса будет меньше, чем наблюдаемое.[2][3] Следовательно, измеренный параллакс будет систематически смещаться в сторону большего значения, чем истинное. При этом полученное значение светимостей и расстояний окажется заниженным, что в дальнейшем может сказаться на других методах оценки расстояний, по светимостям.
Метод коррекции, предложенный Лутцом и Келкером, применим только в случае справедливости трёх предположений. Стандартное отклонение должно быть много меньше среднего значения, поскольку в противном случае возможно возникновение отрицательных расстояний. Наблюдаемые объекты должны быть равномерно распределены в пространстве, так что количество объектов на расстоянии d пропорционально d2. Также наблюдаемые объекты должны быть достаточно яркими для того, чтобы быть доступными для наблюдения в пределах рассматриваемых расстояний.[4]
Математическое описание
Первоначальное описание
Функция распределения
С математической точки зрения смещение Лутца-Келкера возникает из зависимости количественной плотности от наблюдаемого параллакса, что можно выразить с помощью условной вероятности измерения параллакса. Предположим, что наблюдаемый параллакс имеет нормальное распределение относительно истинного параллакса вследствие ошибок измерения. Тогда мы можем записать функцию распределения условной вероятности измеренного параллакса , если истинное значение параллакса равно :
Поскольку в задачах определяется истинное значение параллакса по наблюдениям, то необходимо вывести условную вероятность истинного параллакса при имеющемся наблюдаемом параллаксе . При первоначальном рассмотрении явления Лутцом и Келкером данная вероятность, согласно теореме Байеса, была представлена в виде
где и — априорные вероятности истинного и наблюдаемого параллакса, соответственно.
Зависимость от расстояния
Плотность вероятности обнаружения звезды с видимой звёздной величиной на расстоянии можно записать в виде
будет зависеть от функции светимости звезды, связанной с абсолютной звёздной величиной объекта. является функцией плотности вероятности видимой звёздной величины, не зависящей от расстояния. Вероятность того, что звезда находится на расстоянии , пропорциональна , так что
Если предположить равномерное распределение звёзд в пространстве, то количественная плотность будет постоянной, поэтому можно переписать выражение в виде
, где .
Поскольку мы рассматриваем распределение вероятности истинного значения параллакса на основе фиксированного наблюдаемого параллакса, мы можем сделать вывод, что для распределения справедлива пропорциональность[3]
и, следовательно,
Нормализация
Условная вероятность для истинного значения параллакса на основе наблюдаемого параллакса расходится вблизи нуля для истинного параллакса. Следовательно, нельзя нормировать данную вероятность. Следуя первоначальному описанию смещения,[2] мы можем ввести нормализацию, учтя наблюдаемый параллакс, как
Включение не меняет пропорциональность, поскольку является фиксированной константой. does not affect proportionality since it is a fixed constant. При такой нормализации мы получим вероятность 1 при равенстве истинного параллакса и наблюдаемого вне зависимости от ошибок измерения. Следовательно, можно ввести безразмерный параллакс и получить безразмерное распределение истинного параллакса
Здесь означает точку, в которой измеренный параллакс совпадает с истинным, то есть распределение вероятности должно иметь центр в данной точке. Однако такое распределение вследствие наличия множителя будет отклоняться от точки в сторону меньших значений. Это и есть проявление систематического смещения Лутца-Келкера. Значение смещения определяется значением , неопределённостью измерения параллакса.
Исследование эффекта
Первоначальное объяснение
Изначально считалось, что смещение Лутца-Келкера можно объяснить только наличием неопределённости измерения параллаксов.[2] В результате зависимости параллакса от распределения звёзд меньшие неопределённости наблюдаемого параллакса приведут к малому смещению относительно истинного значения. Чем выше неопределённость, тем сильнее будет систематическое отклонение наблюдаемого параллакса относительно истинного. Большие ошибки в измерении параллакса проявятся в вычислении светимостей, что даст возможность отследить наличие больших неопределённостей. В первоначальном описании эффекта смещение считалось значимым, когда неопределённость наблюдаемого параллакса становилась близка к 15% от измеряемой величины, .[2] Утверждалось, что если неопределённость параллакса составляет по крайней мере 15–20%, то смещение оказывается настолько существенным, что мы теряем большую часть информации о параллаксе и расстоянии. Ряд последующих работ опроверг этот вывод, поскольку к смещению могли приводить и другие факторы. Считается, что для большинства звёздных систем смещение не настолько сильное, насколько считалось изначально.
Последующие исследования
Во многих работах исследовалось само явление смещения, его наличие и способы внесения поправок.[5][6][7][8] В некоторых статьях утверждалось, что предположение об однородном распределении звёзд может быть неприменимым в зависимости от выбора звёздной подсистемы. Более того, различное распределение звёзд в пространстве наряду с наличием ошибок измерения приведёт к различным видам смещения.[6] Таким образом, смещение зависит от выборки звёзд и распределения ошибок измерения, хотя понятие смещения Лутца-Келкера применяется в целом для описания явления для произвольной выборки звёзд. Также неизвестно, как согласуются другие источники ошибок и смещений (например, сдвиг Малмквиста) со смещением Лутца-Келкера: усиливают ли они общее смещение или, наоборот, смещают оценку в противоположные стороны.[9]
Недавно исследования наличия эффекта Лутца-Келкера стали особенно важны в свете высокоточных измерений, проводимых в рамках миссии Gaia, при учёте возможного различия функций распределения ошибок измерений.[10] По-прежнему важно с осторожностью относиться к влиянию смещения при отборе образцов, поскольку распределение звёзд, как ожидается, будет неоднородным на больших масштабах расстояний. В результате возникает вопрос, применимы ли методы коррекции, включая поправку Лутца-Келкера, предложенную в первоначальной работе, к данной выборке звёзд, поскольку ожидается, что эффекты будут зависеть от распределения звёзд. Более того, если следовать исходному описанию и зависимости смещения от погрешностей измерения, ожидается, что влияние смещения будет ниже из-за более высокой точности современных инструментов, таких как Gaia.
Примечания
- ↑ Thomas E.; Lutz; Kelker, Douglas H. On the Use of Trigonometric Parallaxes for the Calibration of Luminosity Systems: Theory (англ.) // Publications of the Astronomical Society of the Pacific : journal. — 1973. — Vol. 85. — P. 573. — doi:10.1086/129506. — .
- ↑ 1 2 3 4 Thomas E.; Lutz; Kelker, Douglas H. On the Use of Trigonometric Parallaxes for the Calibration of Luminosity Systems: Theory (англ.) // Publications of the Astronomical Society of the Pacific : journal. — 1973. — Vol. 85, no. 507. — P. 573. — doi:10.1086/129506. — .
- ↑ 1 2 Binney and Merrifield. Galactic Astronomy. — Princeton, New Jersey, 08540: Princeton University Press, 1998. — С. 115—119. — ISBN 978-0-691-00402-0.
- ↑ Paterson, David.A. "Topics in Astronomy: Topic 8. Inappropriateness of the Lutz-Kelker equation for brown dwarfs" (недоступная ссылка). Retrieved on 22 September 2015.
- ↑ Lutz, Thomas E.; Kelker, Douglas H. On the Use of Trigonometric Parallaxes for the Calibration of Luminosity Systems: Theory (англ.) // Publications of the Astronomical Society of the Pacific : journal. — 1973. — Vol. 85, no. 507. — P. 573. — ISSN 0004-6280. — doi:10.1086/129506. — .
- ↑ 1 2 Smith, H. Is there really a Lutz--Kelker bias? Reconsidering calibration with trigonometric parallaxes (англ.) // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society : journal. — Oxford University Press, 2003. — 1 February (vol. 338, no. 4). — P. 891—902. — ISSN 0035-8711. — doi:10.1046/j.1365-8711.2003.06167.x. — .
- ↑ Francis, Charles. The Lutz-Kelker Paradox (англ.) // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society: Letters : journal. — 2014. — 11 October (vol. 444, no. 1). — P. L6—L10. — ISSN 1745-3933. — doi:10.1093/mnrasl/slu103. — . — arXiv:1406.6580.
- ↑ Hayes, D. S.; Pasinetti, L. E.; Philip, A. G. Davis. Calibration of Fundamental Stellar Quantities: Proceedings of the 111th Symposium of the International Astronomical Union held at Villa Olmo, Como, Italy, May 24–29, 1984 (англ.). — Springer Science & Business Media, 2012. — ISBN 978-94-009-5456-4.
- ↑ Haywood, Smith, Jr. The calibration problem I. Estimation of mean absolute magnitude using trigonometric parallaxes // A&A. — 1987. — Т. 171. — С. 336—341. — .
- ↑ Luri, X.; Brown, A. G. A.; Sarro, L. M.; Arenou, F.; Bailer-Jones, C. A. L.; Castro-Ginard, A.; de Bruijne, J.; Prusti, T.; Babusiaux, C. Gaia Data Release 2: using Gaia parallaxes (англ.) // Astronomy and Astrophysics : journal. — 2018. — 25 April (vol. 616). — P. A9. — ISSN 0004-6361. — doi:10.1051/0004-6361/201832964. — arXiv:1804.09376.