Ядро Джексона

Ядром Джексона в теории приближений называется ${\displaystyle 2\pi }$-периодическая функция, задающаяся формулой:

${\displaystyle d_{n}(t)=\gamma _{n}\left({\frac {\sin {\frac {nt}{2}}}{\sin {\frac {t}{2}}}}\right)^{4}}$

Названо именем учёного, занимавшегося теорией приближений и тригонометрических полиномов — Данхэма Джексона^[англ.].

Данная функция является ядром, свёртка с которым даёт частичную сумму ряда Фурье.

Константа ${\displaystyle \gamma _{n}}$ определяется из соотношения ${\displaystyle \int \limits _{\mathbb {T} }{d_{n}(t)dt}=1,\mathbb {T} =[-\pi ;\pi ]}$ и равна ${\displaystyle \gamma _{n}={\frac {3}{2\pi n(2n^{2}+1)}}}$

Используем равенство Парсеваля для случая пространства L₂:

Если ${\displaystyle f\in \mathbb {L} _{2}}$, то верно следующее тождество: ${\displaystyle \int \limits _{Q}{f^{2}}=\pi \left({\frac {a_{0}^{2}}{2}}+\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\left(a_{n}^{2}+b_{n}^{2}\right)}\right)}$

Необходимо подставить в это равенство ${\displaystyle f=\left({\frac {\sin {\frac {nt}{2}}}{\sin {\frac {t}{2}}}}\right)^{2}}$

Предварительно необходимо написать выражение для ${\displaystyle \left({\frac {\sin {\frac {nt}{2}}}{\sin {\frac {t}{2}}}}\right)^{2}}$, используя ядро Фейера и ядро Дирихле:

${\displaystyle \Phi _{n-1}(t)={\frac {1}{2\pi n}}\left({\frac {\sin {\frac {nt}{2}}}{\sin {\frac {t}{2}}}}\right)^{2}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=0}^{n-1}{D_{k}(t)}=}$
${\displaystyle ={\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=0}^{n-1}{{\frac {1}{\pi }}\left({\frac {1}{2}}+\sum \limits _{j=1}^{k}{\cos {jt}}\right)}}$

Из этого следует, что

${\displaystyle \left({\frac {\sin {\frac {nt}{2}}}{\sin {\frac {t}{2}}}}\right)^{2}=2\pi n{\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=0}^{n-1}{{\frac {1}{\pi }}\left({\frac {1}{2}}+\sum \limits _{j=1}^{k}{\cos {jt}}\right)}=n+2\sum \limits _{k=0}^{n-1}{\sum \limits _{j=1}^{k}{\cos {jt}}}}$

Поменяв местами две суммы и применив соответствующее преобразование для индексов, получим:

${\displaystyle \left({\frac {\sin {\frac {nt}{2}}}{\sin {\frac {t}{2}}}}\right)^{2}=n+2\sum \limits _{j=1}^{n-1}\sum \limits _{k=1}^{n-j}{\cos {jt}}=n+\sum \limits _{j=1}^{n-1}{(n-j)\cos {jt}}}$

Далее, очевидно, что коэффициенты полученного тригонометрического полинома будут коэффициентами Фурье его суммы, то есть ${\displaystyle a_{0}=2n,a_{k}=k-j(0<k<n),a_{k}=0(k>n-1),b_{k}=0}$

Остаётся лишь подставить эти коэффициенты в соответствующее выражение для интеграла:

${\displaystyle \int \limits _{Q}{\left({\frac {\sin {\frac {nt}{2}}}{\sin {\frac {t}{2}}}}\right)^{4}}=\pi \left(2n^{2}+4\sum \limits _{j=1}^{n-1}{\left(n-j\right)^{2}}\right)=\pi \left(2n^{2}+4\sum _{j=1}^{n-1}{j^{2}}\right)=\pi \left(2n^{2}+4\left({\frac {n(n-1)(2n-1)}{6}}\right)\right)=}$
${\displaystyle =\pi \left({\frac {12n^{2}+8n^{3}-12n^{2}+4n}{6}}\right)={\frac {2\pi n(2n^{2}+1)}{3}}}$
А значит, подставив в основное тождество для ядра Джексона, можно получить выражение для константы:
${\displaystyle \gamma _{n}={\frac {1}{\int \limits _{Q}{\left({\frac {\sin {\frac {nt}{2}}}{\sin {\frac {t}{2}}}}\right)^{4}}}}={\frac {3}{2\pi n(2n^{2}+1)}}}$
Таким образом, утверждение о константе доказано.

• Тригонометрический ряд Фурье
• Неравенство Джексона — Стечкина
• Ядро Дирихле
• Ядро Фейера

• A.V. Efimov. Jackson Singular Integral  (неопр.) (2001). Дата обращения: 11 октября 2010. Архивировано из оригинала 2 октября 2010 года.
• A. Shadrin. Approximation Theory – Lecture 9 (University of Cambridge - Department of Applied Mathematics and Theoretical Physics)  (неопр.) (2005). Дата обращения: 11 октября 2010. Архивировано из оригинала 5 июня 2011 года.
• Жук В.В., Натансон Г.И. Тригонометрические ряды Фурье и элементы теории аппроксимации. — Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1983. — С. 188.
• Бари Н.К. Тригонометрические ряды. — Москва: Государственное издательство физико-математической литературы, 1961. — С. 936.
• D. Jackson. The theory of approximation. — Amer. Math. Soc., 1930.