Ядро Фейера

Ядро Фейера — функция, применяющаяся для суммирования по Чезаро рядов Фурье или преобразований Фурье, задаваемая формулой:

${\displaystyle \Phi _{n}(x)={\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}D_{k}(x)}$,

где ${\displaystyle D_{k}(x)}$ — ядро Дирихле. В сокращённой форме^[1]:

${\displaystyle \Phi _{n}(x)={\frac {1}{2(n+1)}}{\frac {\sin ^{2}{\frac {n+1}{2}}x}{\sin ^{2}{\frac {x}{2}}}}}$.

Названо в честь венгерского математика Липота Фейера.

Если ${\displaystyle f(x)}$ — интегрируемая на ${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$ и ${\displaystyle 2\pi }$-периодическая функция, то:

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ~\forall n\in \mathbb {N} \;\;\sigma _{n}(f;x)=\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x-u)\Phi _{n}(u)du=\int \limits _{0}^{\pi }(f(x-u)+f(x+u))\Phi _{n}(u)du}$.

Теорема Фейера: если ${\displaystyle f(x)}$ — непрерывная ${\displaystyle 2\pi }$-периодическая функция, ${\displaystyle S_{k}(x)}$ — частичные суммы ряда Фурье этой функции, а ${\displaystyle \sigma _{n}(x)}$ — среднее арифметическое этих частичных сумм — ${\displaystyle \sigma _{n}(x)={\frac {1}{n+1}}\sum \limits _{k=0}^{n}{S_{k}(x)}}$ (называемое также суммой Фейера порядка ${\displaystyle n}$), то ${\displaystyle \sigma _{n}(x)}$ равномерно сходится к ${\displaystyle f(x)}$.

Если ${\displaystyle \Phi _{n}(x)}$ — положительная ${\displaystyle 2\pi }$-периодическая чётная функция, то выполнены следующие утверждения:

• ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ~\int \limits _{-\pi }^{\pi }\Phi _{n}(u)du={\pi }}$;
• ${\displaystyle \int \limits _{\delta }^{\pi }\Phi _{n}(u)du\rightarrow 0,\int \limits _{-\pi }^{-\delta }\Phi _{n}(u)du\rightarrow 0,n\rightarrow \infty }$ для любого фиксированного ${\displaystyle \delta >0}$.

Ядро Фейера для интеграла Фурье^[2]:

${\displaystyle F_{n}(x)={\frac {2}{\pi n}}{\frac {\sin ^{2}{\frac {n}{2}}x}{x^{2}}}}$

Свойства ядра Фейера для интеграла Фурье:

• ${\displaystyle F_{n}(x)\geqslant 0}$;
• ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }F_{n}(x)dx=1}$;
• ${\displaystyle \int _{|x|\geqslant \delta }F_{n}(x)dx\rightarrow 0}$ для любого фиксированного ${\displaystyle \delta >0}$ при ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$.

• Шилов Г.Е. Математический анализ. Специальный курс. — М.: Наука, 1961. — 436 с.
• Фейера метод суммирования — статья из Математической энциклопедии