Ядро (теория категорий)

Ядро в теории категорий — категорный эквивалент ядра гомоморфизма из общей алгебры; интуитивно, ядро морфизма $f\colon X\to Y$ — это «наиболее общий» морфизм $k\colon K\to X$ , после которого применение $f$ даёт нулевой морфизм.

Определение

Пусть ${\mathcal {C}}$ — категория с нулевыми морфизмами. Тогда ядро морфизма $f\colon X\to Y$ — это уравнитель его и нулевого морфизма $0\colon X\to Y$ . Более явно, выполняется следующее универсальное свойство:

Ядро $f\colon X\to Y$ — это морфизм $k\colon K\to X$ , такой что:

$f\circ k$ — нулевой морфизм из $K$ в $Y$ :
для любого морфизма $k'\colon K'\to X$ , такого что $f\circ k'$ — нулевой, существует единственный морфизм $u\colon K'\to K$ , такой что $k\circ u=k'$ :

Примеры

Во многих категориях это определение ядра совпадает с обычным: если $f\colon X\to Y$ — гомоморфизм групп или модулей, то ядро в категорном смысле — это вложение ядра в алгебраическом смысле в прообраз.

Однако в категории моноидов ядра в категорном смысле аналогичны ядрам групп, поэтому определение ядра в теории моноидов немного отличается. В категории колец, наоборот, ядер в категорном смысле не существует вовсе, так как не существует нулевых морфизмов. Интерпретировать ядра моноидов и колец в теории категорий можно при помощи концепции пар ядер.

Связь с другими категорными понятиями

Двойственное к ядру понятие — коядро, то есть ядро морфизма — это его коядро в двойственной категории, и наоборот.

Каждое ядро, как и любой другой уравнитель, является мономорфизмом. Обратно, мономорфизм называется нормальным, если он является ядром другого морфизма. Категория называется нормальной, если любой мономорфизм в ней нормален.

В частности, абелевы категории являются нормальными. В этой ситуации, ядро коядра морфизма называется его образом^[англ.]. При этом каждый мономорфизм является своим собственным образом.

Литература

Маклейн С. Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.

Paolo Aluffi. Algebra: Chapter 0. — 2009. — (Graduate Studies in Mathematics). — ISBN 0-8218-4781-3.

Похожие исследовательские статьи

В математике, если заданы две группы (G, ∗) и (H, •), гомоморфизм групп из (G, ∗) в (H, •) — это функция h : G → H, такая, что для всех u и v из G выполняется

\text{[math]}

Тео́рия катего́рий — раздел математики, изучающий свойства отношений между математическими объектами, не зависящие от внутренней структуры объектов.

Функтор — особый тип отображений между категориями. Его можно понимать как отображение, сохраняющее структуру. Функторы между малыми категориями являются морфизмами в категории малых категорий. Совокупность всех категорий не является категорией в обычном смысле, так как совокупность её объектов не является классом. Один из способов преодолеть подобные теоретико-множественные трудности — добавление в ZFC независимой от неё аксиомы о существовании недостижимых кардиналов.

Мономорфи́зм ― морфизм $\text{[math]}$ категории $\text{[math]}$ , такой что из всякого равенства $\text{[math]}$ следует, что $\text{[math]}$ . Часто мономорфизм из $\text{[math]}$ в $\text{[math]}$ обозначают $\text{[math]}$ .

Сопряжённые функторы — пара функторов, состоящих в определённом соотношении между собой. Понятие сопряжённых функторов и сам термин были предложены Даниэлем Каном в 1956 году. Сопряжённые функторы часто встречаются в разных областях математики.

Проективный предел — используемая в различных разделах математики конструкция, которая позволяет построить новый объект $\text{[math]}$ по семейству однотипных объектов $\text{[math]}$ и набору отображений $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ . Один из видов пределов в теории категорий.

Эпиморфи́зм в категории ― морфизм $\text{[math]}$ , такой что из всякого равенства $\text{[math]}$ следует $\text{[math]}$ .

Произведение двух или более объектов — это обобщение в теории категорий таких понятий, как декартово произведение множеств, прямое произведение групп и произведение топологических пространств. Произведение семейства объектов — это в некотором смысле самый общий объект, имеющий морфизмы во все объекты семейства.

Копроизведение семейства объектов — обобщение в теории категорий понятий дизъюнктного объединения множеств и топологических пространств и прямой суммы модулей или векторных пространств. Копроизведение семейства объектов — это «наиболее общий» объект, в который существует морфизм из каждого объекта семейства. Копроизведение объектов двойственно их произведению, то есть определение копроизведения можно получить из определения произведения обращением всех стрелок. Тем не менее, во многих категориях произведение и копроизведение объектов разительно отличаются.

Уравнитель в теории категорий — обобщение понятия решения некоторого уравнения, то есть множества, на котором данные отображения совпадают.

Преде́л в теории категорий — понятие, обобщающее свойства таких конструкций, как произведение, декартов квадрат и обратный предел. Двойственное понятие копредела обобщает свойства таких конструкций, как дизъюнктное объединение, копроизведение, кодекартов квадрат и прямой предел.

Вложение — специального вида отображение одного экземпляра некоторой математической структуры во второй экземпляр такого же типа. А именно, вложение некоторого объекта $\text{[math]}$ в $\text{[math]}$ задаётся инъективным отображением, сохраняющим некоторую структуру. Что означает «сохранение структуры», зависит от типа математической структуры, объектами которой являются $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ . В терминах теории категорий отображение, «сохраняющее структуру», называют морфизмом.

<span class="mw-page-title-main">Коядро</span>

Коядро — теоретико-категорная конструкция, двойственная к ядру: ядро является подобъектом прообраза, а коядро — факторобъектом области прибытия. Интуитивно, при поиске решения уравнения $\text{[math]}$ коядро определяет число ограничений, которым должен удовлетворять $\text{[math]}$ , чтобы данное уравнение имело решение.

Двойственность в теории категорий — соотношение между свойствами категории C и так называемыми двойственными свойствами двойственной категории C^op. Взяв утверждение, касающееся категории C и поменяв местами образ и прообраз каждого морфизма, так же как и порядок применения морфизмов, получим двойственное утверждение, касающееся категории C^op. Принцип двойственности состоит в том, что истинные утверждения после такой операции переходят в истинные, а ложные в ложные.

Коуравнитель — теоретико-категорное обобщение понятия фактора по отношению эквивалентности. Это понятие двойственно к понятию уравнителя, отсюда и название.

В математике, категория групп — это категория, класс объектов которой составляют группы, а морфизмы — гомоморфизмы групп.

Категория абелевых групп — категория, объекты которой — абелевы группы, а морфизмы — гомоморфизмы групп. Является прототипом абелевой категории., в действительности, любая малая абелева категория может быть вложена в Ab.

Абелева категория — категория, в которой морфизмы можно складывать, а ядра и коядра существуют и обладают определёнными удобными свойствами. Пример, который стал прототипом абелевой категории — категория абелевых групп. Теория абелевых категорий была разработана Александром Гротендиком для объединения нескольких теорий когомологий. Класс абелевых категорий замкнут относительно нескольких категорных конструкций; например, категория цепных комплексов с элементами из абелевой категории и категория функторов из малой категории в абелеву также являются абелевыми.

<span class="mw-page-title-main">Моноид (теория категорий)</span>

В теории категорий моноид $\text{[math]}$ в моноидальной категории $\text{[math]}$ — это объект M вместе с двумя морфизмами

$\text{[math]}$ ,
и $\text{[math]}$ ,

Производная категория D(A) абелевой категории A представляет собой конструкцию из гомологической алгебры, введённую для уточнения и в определённом смысле упрощения теории производных функторов, определённых на A. Конструкция определяется таким образом, что объектами D(A) становятся цепные комплексы объектов из A, причем два таких комплекса считаются изоморфными, когда существует гомоморфизм между этими комплексами, индуцирующий изоморфизм гомологий этих комплексов. Затем для цепных комплексов можно определить производные функторы, уточняя понятие гиперкогомологий. Определения приводят к существенному упрощению формул, в противном случае описываемых сложными спектральными последовательностями.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.