Японская теорема о вписанном четырёхугольнике
Японская теорема о вписанном четырёхугольнике утверждает, что центры окружностей, вписанных в определённые треугольники внутри вписанного в окружность четырёхугольника, являются вершинами прямоугольника.
Разбиение произвольного вписанного четырёхугольника диагоналями даёт четыре перекрывающих друг друга треугольника каждая диагональ создаёт два треугольника). Центры вписанных в эти треугольники окружностей образуют прямоугольник.
В частности, пусть □ABCD — произвольный вписанный четырёхугольник и пусть M1, M2, M3, M4 — центры вписанных в треугольники △ABD, △ABC, △BCD, △ACD окружностей. Тогда четырёхугольник, образованный центрами M1, M2, M3, M4, является прямоугольником.
Доказательство[1]
(поскольку является биссектрисой угла , а является биссектрисой угла )
Аналогично получаем
Поскольку четырёхугольник вписанный, имеем , откуда следует, что четырёхугольник тоже вписан в окружность, так что получаем
Аналогично получаем
А следовательно,
Тем же самым способом доказываем для других углов. Получаем, что все четыре угла четырёхугольника прямые. Теорема доказана
Заметим, что доказательство этой теоремы легко обобщается до доказательства японской теоремы о вписанных многоугольниках (Japanese theorem for cyclic polygons).
Из случая четырёхугольника немедленно вытекает доказательство для общего вписанного многоугольника (по индукции по числу треугольников в разбиении многоугольника).
Замечание 1
Для вписанного четырёхугольника японская теорема о вписанном четырёхугольнике является составной частью более сложного утверждения:
- Во вписанном четырёхугольнике ABCD центры вписанных окружностей треугольников ABC, BCD, CDA и DAB являются вершинами прямоугольника, ортоцентры тех же четырёх треугольников являются вершинами четырёхугольника, равного ABCD, центроиды этих четырёх треугольников являются вершинами другого вписанного четырёхугольника[2].
См. также
Литература
- Mangho Ahuja, Wataru Uegaki, Kayo Matsushita: In Search of the Japanese Theorem (postscript file)
- Theorem at Cut-the-Knot
- Wataru Uegaki: "Japanese Theoremの起源と歴史" (On the Origin and History of the Japanese Theorem). Departmental Bulletin Paper, Mie University Scholarly E-Collections, 2001-03-01
- Wilfred Reyes: An Application of Thebault’s Theorem. Forum Geometricorum, Volume 2, 2002, pp. 183–185
- Titu Andreescu, Bogdan Enescu. Mathematical Olympiad Treasures. — Springer, 2004. — ISBN 978-0-8176-4305-8.
Ссылки
- ↑ Andreescu, Enescu, 2004, с. 45.
- ↑ Andreescu, Enescu, 2004, с. 2.3 Cyclic quads.