3j-символ

3j-символ Вигнера, называемый также 3jm-символом, — вещественная функция шести переменных (как правило, целых или полуцелых чисел). Находят применение в квантовой механике для сложения угловых моментов и связаны с коэффициентами Клебша — Гордана следующими формулами:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}\equiv {\frac {(-1)^{j_{1}-j_{2}-m_{3}}}{\sqrt {2j_{3}+1}}}\langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|j_{3}(-m_{3})j_{1}j_{2}\rangle .}$

3j-символы являются коэффициентами, с которыми состояние ${\displaystyle |0\,0\rangle }$ раскладывается в виде трилинейной формы трёх угловых моментов:

${\displaystyle \sum _{m_{1}=-j_{1}}^{j_{1}}\sum _{m_{2}=-j_{2}}^{j_{2}}\sum _{m_{3}=-j_{3}}^{j_{3}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}|j_{1}m_{1}\rangle |j_{2}m_{2}\rangle |j_{3}m_{3}\rangle =|0\,0\rangle .}$

Обратная связь между коэффициентами Клебша — Гордана и 3j-символами может быть найдена следующим образом: замечая, что j₁ − j₂ − m₃ является целым числом, и делая подстановку ${\displaystyle m_{3}\rightarrow -m_{3}}$, получим:

${\displaystyle \langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|j_{3}m_{3}j_{1}j_{2}\rangle =(-1)^{j_{1}-j_{2}+m_{3}}{\sqrt {2j_{3}+1}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&-m_{3}\end{pmatrix}}.}$

Симметрия 3j-символов выражается более удобно, чем у коэффициентов Клебша — Гордана. 3j-символ инвариантен при чётной перестановке его столбцов:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}j_{2}&j_{3}&j_{1}\\m_{2}&m_{3}&m_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}j_{3}&j_{1}&j_{2}\\m_{3}&m_{1}&m_{2}\end{pmatrix}}.}$

Нечётная перестановка столбцов приводит к домножению на фазовый фактор:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}{\begin{pmatrix}j_{2}&j_{1}&j_{3}\\m_{2}&m_{1}&m_{3}\end{pmatrix}}=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{3}&j_{2}\\m_{1}&m_{3}&m_{2}\end{pmatrix}}.}$

Замена знака квантовых чисел ${\displaystyle m}$ также даёт дополнительную фазу:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\-m_{1}&-m_{2}&-m_{3}\end{pmatrix}}=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}.}$

3j-символ Вигнера не равен нулю только при одновременном выполнении всех следующих условий:

${\displaystyle m_{1}+m_{2}+m_{3}=0,}$

${\displaystyle j_{1}+j_{2}+j_{3}}$ — целое,

${\displaystyle |m_{i}|\leqslant j_{i},}$

${\displaystyle |j_{1}-j_{2}|\leqslant j_{3}\leqslant j_{1}+j_{2}.}$

Свёртка произведения трёх вращательных состояний с 3j-символами

${\displaystyle \sum _{m_{1}=-j_{1}}^{j_{1}}\sum _{m_{2}=-j_{2}}^{j_{2}}\sum _{m_{3}=-j_{3}}^{j_{3}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}|j_{1}m_{1}\rangle |j_{2}m_{2}\rangle |j_{3}m_{3}\rangle }$

инвариантна при вращениях. Это очевидный факт, поскольку указанная сумма равна состоянию с нулевым моментом ${\displaystyle |0\,0\rangle }$, которое сферически симметрично.

3j-символы удовлетворяют следующим свойствам ортогональности:

${\displaystyle (2j+1)\sum _{m_{1}m_{2}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j\\m_{1}&m_{2}&m\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j'\\m_{1}&m_{2}&m'\end{pmatrix}}=\delta _{jj'}\delta _{mm'},}$

${\displaystyle \sum _{jm}(2j+1){\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j\\m_{1}&m_{2}&m\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j\\m_{1}'&m_{2}'&m\end{pmatrix}}=\delta _{m_{1}m_{1}'}\delta _{m_{2}m_{2}'}.}$

Через 3j-символы выражаются интегралы от произведения трёх сферических гармоник:

${\displaystyle \int Y_{l_{1}m_{1}}(\theta ,\varphi )Y_{l_{2}m_{2}}(\theta ,\varphi )Y_{l_{3}m_{3}}(\theta ,\varphi )\,\sin \theta \,d\theta \,d\varphi ={\sqrt {\frac {(2l_{1}+1)(2l_{2}+1)(2l_{3}+1)}{4\pi }}}{\begin{pmatrix}l_{1}&l_{2}&l_{3}\\0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}l_{1}&l_{2}&l_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}},}$

где ${\displaystyle l_{1}}$, ${\displaystyle l_{2}}$ и ${\displaystyle l_{3}}$ являются целыми числами.

${\displaystyle \int d{\mathbf {\hat {n}} }{}_{s_{1}}Y_{j_{1}m_{1}}({\mathbf {\hat {n}} }){}_{s_{2}}Y_{j_{2}m_{2}}({\mathbf {\hat {n}} }){}_{s_{3}}Y_{j_{3}m_{3}}({\mathbf {\hat {n}} })=(-1)^{m_{1}+s_{1}}{\sqrt {\frac {(2j_{1}+1)(2j_{2}+1)(2j_{3}+1)}{4\pi }}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\-s_{1}&-s_{2}&-s_{3}\end{pmatrix}}.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}&\equiv \delta (m_{1}+m_{2}+m_{3},0)(-1)^{j_{1}-j_{2}-m_{3}}{}{\sqrt {\frac {(j_{1}+j_{2}-j_{3})!(j_{1}-j_{2}+j_{3})!(-j_{1}+j_{2}+j_{3})!}{(j_{1}+j_{2}+j_{3}+1)!}}}\ \times {}\\[6pt]&\times {\sqrt {(j_{1}-m_{1})!(j_{1}+m_{1})!(j_{2}-m_{2})!(j_{2}+m_{2})!(j_{3}-m_{3})!(j_{3}+m_{3})!}}\ \times {}\\[6pt]&\times \sum _{k=K}^{N}{\frac {(-1)^{k}}{k!(j_{1}+j_{2}-j_{3}-k)!(j_{1}-m_{1}-k)!(j_{2}+m_{2}-k)!(j_{3}-j_{2}+m_{1}+k)!(j_{3}-j_{1}-m_{2}+k)!}}.\end{aligned}}}$

Суммирование выполняется по тем целым значениям k, для которых аргумент каждого факториала в знаменателе неотрицателен, т.е. пределы суммирования K и N принимаются равными: нижний ${\displaystyle K=\max(0,j_{2}-j_{3}-m_{1},j_{1}-j_{3}+m_{1}),}$ верхний ${\displaystyle N=\min(j_{1}+j_{2}-j_{3},j_{1}-m_{1},j_{2}+m_{2}).}$ Факториалы отрицательных чисел условно принимаются равными нулю, так что значения 3j-символа при, например, ${\displaystyle j_{3}>j_{1}+j_{2}}$ или ${\displaystyle j_{1}<m_{1}}$ автоматически обнуляются^[1].

${\displaystyle \sum _{m}(-1)^{j+m}{\begin{pmatrix}j&j&J\\m&-m&0\end{pmatrix}}={\sqrt {\frac {2j+1}{2J+1}}}\delta _{J0}.}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{-1}^{1}dxP_{l_{1}}(x)P_{l_{2}}(x)P_{l}(x)={\begin{pmatrix}l&l_{1}&l_{2}\\0&0&0\end{pmatrix}}^{2}.}$

• Коэффициенты Клебша — Гордана
• 6j-символ
• 9j-символ
• 12j-символ
• 15j-символ

• Собельман И. И. Введение в теорию атомных спектров (рус.). — М.: Физматгиз, 1963.
• Biedenharn L. C., Louck J. D. Angular Momentum in Quantum Physics. In: Vol. 8 of Encyclopedia of Mathematics, Addison-Wesley, Reading, 1981.
• Brink D. M., Satchler G. R. Angular Momentum. 3rd edition, Clarendon, Oxford, 1993.
• Edmonds A. R. Angular Momentum in Quantum Mechanics. 2nd edition, Princeton University Press, Princeton, 1960.
• Варшалович Д. А., Москалёв А. Н., Херсонский В. К. Квантовая теория углового момента (рус.). — Л.: Наука, 1975.
• Wigner E. P. On the Matrices Which Reduce the Kronecker Products of Representations of Simply Reducible Groups. Unpublished (1940). Reprinted in: Biedenharn L. C., van Dam H. Quantum Theory of Angular Momentum. New York: Academic Press, 1965.

• Вычислитель коэффициентов Вигнера от Антони Стоуна (даёт точный ответ)
• Онлайн-калькулятор коэффициентов Клебша — Гордана, 3j и 6j-символов (численно)
• калькулятор 369j-символов Лаборатории плазмы института имени Вайцмана (численно)
• WIGXJPF расчёт 3j 6j 9j символов C++ и Python (точный ответ через факторизацию и многобайтные целые числа)