4-ток

Классическая электродинамика
Электричество · Магнетизм
Электростатика Закон Кулона Теорема Гаусса Электрический дипольный момент Электрический заряд Электрическая индукция Электрическое поле Электростатический потенциал
Магнитостатика Закон Био — Савара — Лапласа Закон Ампера Магнитный момент Магнитное поле Магнитный поток Магнитная индукция
Электродинамика Векторный потенциал Диполь Потенциалы Лиенара — Вихерта Сила Лоренца Ток смещения Униполярная индукция Уравнения Максвелла Электрический ток Электродвижущая сила Электромагнитная индукция Электромагнитное излучение Электромагнитное поле
Электрическая цепь Закон Ома Законы Кирхгофа Индуктивность Радиоволновод Резонатор Электрическая ёмкость Электрическая проводимость Электрическое сопротивление Электрический импеданс
Ковариантная формулировка Тензор электромагнитного поля Тензор энергии-импульса 4-потенциал 4-ток
См. также: Портал:Физика

4-ток, четырёхток в специальной и общей теории относительности — лоренц-ковариантный четырёхвектор, который объединяет плотность тока электрических зарядов (или 3-вектор плотности тока любых других частиц) и объёмную плотность заряда (или объёмную концентрацию частиц).

${\displaystyle J^{\mu }=\left(c\rho ,\;\mathbf {j} \right),}$

где

${\displaystyle c}$ — скорость света,

${\displaystyle \rho }$ — скалярная плотность заряда,

${\displaystyle \mathbf {j} =\rho \,\mathbf {u} }$ — 3-вектор плотности тока,

${\displaystyle \mathbf {u} }$ — 3-вектор скорости зарядов.

В специальной теории относительности локальное сохранение электрического заряда выражается уравнением непрерывности, которое означает равенство нулю инвариантной дивергенции 4-тока:

${\displaystyle D\cdot J=\partial _{\mu }J^{\mu }={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {j} =0,}$

где ${\displaystyle D}$ — 4-векторный оператор, называемый 4-градиентом и определяемый как ${\displaystyle \left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},\;\mathbf {\nabla } \right)}$. Здесь использовано соглашение Эйнштейна о суммировании по повторяющимся индексам. Вышеприведённое уравнение можно короче записать как

${\displaystyle J^{\mu }{}_{,\mu }=0}$

с обычным обозначением частной производной по данной координате как запятой перед соответствующим индексом.

В общей теории относительности уравнение непрерывности записывается так:

${\displaystyle J^{\mu }{}_{;\mu }=0\,,}$

где точка с запятой перед индексом означает ковариантную производную по соответствующей координате.

Аналогом 4-тока в релятивистской бикватернионной алгебре служит бикватернион тока, имеющий в скалярно-векторном представлении следующий вид:

${\displaystyle J=4\pi \left(\rho ,\;\mathbf {j} \right).}$

Используется система единиц, в которой скорость света ${\displaystyle c=1}$. В бикватернионном представлении уравнения Максвелла выражаются в виде:

${\displaystyle D\mathbf {F} ={\overline {J}},}$

где ${\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {E} +i\mathbf {H} }$ — комплексная напряжённость электромагнитного поля (вектор Римана-Зильберштейна), ${\displaystyle D}$ — бикватернионный оператор градиента (аналог 4-градиента): ${\displaystyle D=(\partial _{t},\nabla )}$.

• Теорема Нётер.

• Джексон Дж. Классическая электродинамика. — Москва: Мир, 1965.
• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля (Теоретическая физика, т. II). — Москва: Физматлит, 2003. — 536 с. — ISBN 5-9221-0056-4.
• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Электродинамика сплошных сред (Теоретическая физика, т. VIII). — Москва: Физматлит, 2005. — 656 с. — ISBN 5-9221-0123-4.
• L. Silberstein. "Quaternionic Form of Relativity", Philos. Mag. S., 6, Vol. 23, № 137, pp. 790–809, 1912.