6j-символ

6j-Символы Вигнера введены в обращение Юджином Вигнером в 1940 году и опубликованы в 1965 году.

Понятие 6j-символа возникает при квантовомеханическом сложении трёх моментов импульса, а именно, три угловых момента можно сложить тремя способами (типами связи), получив при этом одно и то же значение результирующего момента ${\displaystyle j}$ и его проекции ${\displaystyle m}$:

${\displaystyle {\begin{matrix}1)&j_{1}+j_{2}=j_{12},\quad j_{12}+j_{3}=j,\\2)&j_{2}+j_{3}=j_{23},\quad j_{1}+j_{23}=j,\\3)&j_{1}+j_{3}=j_{13},\quad j_{13}+j_{2}=j.\end{matrix}}}$

Переход от одной схемы связи к другой задаётся унитарным преобразованием, связывающим состояния с одинаковыми значениями полного момента ${\displaystyle j}$ и его проекции ${\displaystyle m}$. Коэффициенты этого преобразования отличаются от 6j-символов только нормировочными и фазовыми множителями. Эти множители выбираются таким образом, чтобы 6j-символы обладали наиболее простыми свойствами симметрии.

6j-Символы выражаются через W-коэффициенты Рака́ следующим образом:

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{4}+j_{5}}W(j_{1}j_{2}j_{5}j_{4};j_{3}j_{6})}$

и обладают большей симметрией, чем W-коэффициенты Рака.

6j-Символ инвариантен относительно перестановки любой пары его столбцов:

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{2}&j_{1}&j_{3}\\j_{5}&j_{4}&j_{6}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{3}&j_{2}\\j_{4}&j_{6}&j_{5}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{3}&j_{2}&j_{1}\\j_{6}&j_{5}&j_{4}\end{Bmatrix}}.}$

6j-Символ также инвариантен при обмене местами верхних и нижних аргументов в любых двух столбцах:

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{4}&j_{5}&j_{3}\\j_{1}&j_{2}&j_{6}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{5}&j_{6}\\j_{4}&j_{2}&j_{3}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{4}&j_{2}&j_{6}\\j_{1}&j_{5}&j_{3}\end{Bmatrix}}.}$

6j-Символ

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}}$

не равен нулю, только если ${\displaystyle j_{1}}$, ${\displaystyle j_{2}}$ и ${\displaystyle j_{3}}$ удовлетворяют условию треугольника, то есть

${\displaystyle j_{1}=|j_{2}-j_{3}|,\ldots ,j_{2}+j_{3}.}$

Вместе со свойствами симметрии по отношению к обмену верхних и нижних аргументов это приводит к тому, что условиям треугольника должны удовлетворять также ${\displaystyle (j_{1},j_{5},j_{6})}$, ${\displaystyle (j_{4},j_{2},j_{6})}$ и ${\displaystyle (j_{4},j_{5},j_{3})}$.

Если ${\displaystyle j_{6}=0}$, то выражение для 6j-символа принимает вид

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&0\end{matrix}}\right\}={\frac {\delta _{j_{2},j_{4}}\delta _{j_{1},j_{5}}}{\sqrt {(2j_{1}+1)(2j_{2}+1)}}}(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}\{j_{1}j_{2}j_{3}\},}$

где функция ${\displaystyle \{j_{1}j_{2}j_{3}\}}$ равна 1, если ${\displaystyle j_{1},j_{2},j_{3}}$ удовлетворяют условию треугольника, и равна нулю в остальных случаях. Свойства симметрии позволяют найти выражения для случая, когда нулю равен любой другой ${\displaystyle j}$.

6j-Символы удовлетворяют следующему соотношению ортогональности:

${\displaystyle \sum _{j_{3}}(2j_{3}+1){\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}'\end{Bmatrix}}={\frac {\delta _{j_{6}^{}j_{6}'}}{2j_{6}+1}}\{j_{1}j_{5}j_{6}\}\{j_{4}j_{2}j_{6}\}.}$

6j-Символы могут быть выражены в явном виде различными способами:

• в виде конечных сумм,
• через R-символ (формула Баргмана),
• через обобщённые гипергеометрические функции,
• через 3j-символы,
• в виде квазибиномов,
• в виде интегралов от характеров представлений группы вращений.

В качестве примера приведём выражение для 6j-символов в виде конечных сумм:

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}a&b&c\\d&e&f\end{Bmatrix}}=(-1)^{a+c+d+f}{\frac {\Delta (a,b,c)\Delta (b,d,f)}{\Delta (a,e,f)\Delta (c,d,e)}}\times }$

${\displaystyle \quad \times \sum _{n}(-1)^{n}{\frac {(a-b+d+e-n)!(-b+c+e+f-n)!(a+c+d+f+1-n)!}{n!(a-b+c-n)!(-b+d+f-n)!(a+e+f+1-n)!(c+d+e+1-n)!}},}$

где суммирование ведётся по всем n, при которых под знаком факториала стоят неотрицательные выражения. Здесь

${\displaystyle \Delta (a,b,c)\equiv {\sqrt {\frac {(a+b-c)!(a-b+c)!(-a+b+c)!}{(a+b+c+1)!}}}.}$

• Коэффициенты Клебша — Гордана
• 3j-символ

• Собельман И. И. Введение в теорию атомных спектров (рус.). — М.: Физматгиз, 1963.
• Варшалович Д. А., Москалёв А. Н., Херсонский В. К. Квантовая теория углового момента (рус.). — Л.: Наука, 1975.

• Вычислитель коэффициентов Вигнера от Антони Стоуна (даёт точный ответ)
• Онлайн-калькулятор коэффициентов Клебша — Гордана, 3j и 6j-символов (численно)
• калькулятор 369j-символов Лаборатории плазмы института имени Вайцмана (численно)