A-матрица перцептрона

A — матрица перцептрона — используется для анализа перцептронов. Показывает, какие из А-элементов активны при определённом стимуле. Имеет размер $n\times N_{a}$ , где $n$ — число стимулов при обучении, $N_{a}$ — число А — элементов. Элементы этой матрицы:

$a_{ij}={\begin{cases}1,&if\ A-element\ a_{j}\ reacts\ on\ stimul\ St_{i},\\0&else\\\end{cases}}$ ,

то есть равен одному, когда А-элемент $a_{j}$ реагирует на стимул $St_{i}$ , и ноль в противном случае.

A — матрица перцептрона при решении задачи XOR

Например, при решении перцептроном задачи XOR и весах изображённых на рисунке, А — матрица перцептрона будет получена следующим образом:

$A^{*}={\begin{pmatrix}x_{1}(St_{1})v_{11}+x_{2}(St_{1})v_{21}&x_{1}(St_{1})v_{12}+x_{2}(St_{1})v_{22}&x_{1}(St_{1})v_{13}+x_{2}(St_{1})v_{23}\\x_{1}(St_{2})v_{11}+x_{2}(St_{2})v_{21}&x_{1}(St_{2})v_{12}+x_{2}(St_{2})v_{22}&x_{1}(St_{2})v_{13}+x_{2}(St_{2})v_{23}\\x_{1}(St_{3})v_{11}+x_{2}(St_{3})v_{21}&x_{1}(St_{3})v_{12}+x_{2}(St_{3})v_{22}&x_{1}(St_{3})v_{13}+x_{2}(St_{3})v_{23}\\\end{pmatrix}}$ ;

$A^{*}={\begin{pmatrix}1*(-1)+1*(+1)&1*(+1)+1*(-1)&1*(+1)+1*(+1)\\0*(-1)+1*(+1)&0*(+1)+1*(-1)&0*(+1)+1*(+1)\\1*(-1)+0*(+1)&1*(+1)+0*(-1)&1*(+1)+0*(+1)\\\end{pmatrix}}$ ;

$A^{*}={\begin{pmatrix}0&0&2\\1&-1&1\\-1&1&1\\\end{pmatrix}}$ ;

$A={\begin{cases}1,&if\ a_{ij}^{*}>\theta ,\\0&else\\\end{cases}}$ ,

где $a_{ij}^{*}$ элемент матрицы A*;

$A={\begin{pmatrix}&A_{1}&A_{2}&A_{3}\\St_{1}&0&0&1\\St_{2}&1&0&1\\St_{3}&0&1&1\\\end{pmatrix}}$ .

Напомним, что стимулы при решении задачи XOR следующие:

	Вход 1 (X1)	Вход 2 (X2)	Класс
Стимул 0	0	0	-
Стимул 1 $St_{1}$	1	1	-
Стимул 2 $St_{2}$	0	1	+
Стимул 3 $St_{3}$	1	0	+

При этом Стимул 0 означает, что стимула нет, поэтому он не рассматривается. При этом порог А — элементов $\theta =0$ .

Видим, что при стимуле 1 активен третий А-элемент, при стимуле 2 активен первый и третий А — элемент, а при стимуле 3 активен второй и третий.

См. также

Литература

Розенблатт, Ф. Принципы нейродинамики: Перцептроны и теория механизмов мозга = Principles of Neurodynamic: Perceptrons and the Theory of Brain Mechanisms. — М.: Мир, 1965. — 480 с.

Похожие исследовательские статьи

Едини́чная ма́трица — квадратная матрица $\text{[math]}$ размера (порядка) $\text{[math]}$ , элементы главной диагонали которой равны единице поля, а остальные равны нулю.

Те́нзор — применяемый в математике и физике объект линейной алгебры, заданный на векторном пространстве $\text{[math]}$ конечной размерности $\text{[math]}$ . В физике в качестве $\text{[math]}$ обычно выступает физическое трёхмерное пространство или четырёхмерное пространство-время, а компонентами тензора являются координаты взаимосвязанных физических величин.

Ма́трица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов кольца или поля, который представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся его элементы. Количество строк и столбцов задаёт размер матрицы. Матрицу можно также представить в виде функции двух дискретных аргументов. Хотя исторически рассматривались, например, треугольные матрицы, в настоящее время говорят исключительно о матрицах прямоугольной формы, так как они являются наиболее удобными и общими.

Определи́тель (детермина́нт) в линейной алгебре — скалярная величина, которая характеризует ориентированное «растяжение» или «сжатие» многомерного евклидова пространства после преобразования матрицей; имеет смысл только для квадратных матриц. Стандартные обозначения определителя матрицы $\text{[math]}$ — $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ .

Метод наименьших квадратов (МНК) — математический метод, применяемый для решения различных задач, основанный на минимизации суммы квадратов отклонений некоторых функций от искомых переменных. Он может использоваться для «решения» переопределенных систем уравнений, для поиска решения в случае обычных нелинейных систем уравнений, для аппроксимации точечных значений некоторой функции. МНК является одним из базовых методов регрессионного анализа для оценки неизвестных параметров регрессионных моделей по выборочным данным.

Ортогона́льная ма́трица — квадратная матрица $\text{[math]}$ с вещественными элементами, результат умножения которой на транспонированную матрицу $\text{[math]}$ равен единичной матрице:

\text{[math]}

Симметричной (Симметрической) называют квадратную матрицу, элементы которой симметричны относительно главной диагонали. Более формально, симметричной называют такую матрицу $\text{[math]}$ , что $\text{[math]}$ .

Пусть $\text{[math]}$ есть векторное пространство над полем $\text{[math]}$ .

Метод Гаусса — Жордана — метод, который используется для решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений, нахождения обратной матрицы, нахождения координат вектора в заданном базисе или отыскания ранга матрицы. Метод является модификацией метода Гаусса. Назван в честь К. Ф. Гаусса и немецкого геодезиста и математика Вильгельма Йордана.

LU-разложение — представление матрицы $\text{[math]}$ в виде произведения двух матриц, $\text{[math]}$ , где $\text{[math]}$ — нижняя треугольная матрица, а $\text{[math]}$ — верхняя треугольная матрица.

Матрица достижимости простого ориентированного графа $\text{[math]}$ — бинарная матрица замыкания по транзитивности отношения $\text{[math]}$ . Таким образом, в матрице достижимости хранится информация о существовании путей между вершинами орграфа.

G — матрица перцептрона — используется для анализа перцептронов. Имеет следующий вид:

Матрица Кирхгофа — одно из представлений конечного графа с помощью матрицы. Матрица Кирхгофа представляет дискретный оператор Лапласа для графа. Она используется для подсчета остовных деревьев данного графа, а также в спектральной теории графов.

Бетатронные колебания — быстрые поперечные колебания, совершаемые частицей в фокусирующих магнитных полях ускорителя. Бетатронные колебания — основной предмет изучения электронной оптики, раздела физики ускорителей.

Матрица кватернионов — это матрица, элементами которой являются кватернионы.

Вне́шне несвя́занные уравне́ния — система эконометрических уравнений, каждое из которых является самостоятельным уравнением со своей зависимой и объясняющими экзогенными переменными. Модель предложена Зельнером в 1968 году. Важной особенностью данных уравнений является то, что несмотря на кажущуюся несвязанность уравнений их случайные ошибки предполагаются коррелированными между собой.

Спектральное разложение матрицы или разложение матрицы на основе собственных векторов — это представление квадратной матрицы $\text{[math]}$ в виде произведения трёх матриц $\text{[math]}$ , где $\text{[math]}$ — матрица, столбцы которой являются собственными векторами матрицы $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ — диагональная матрица с соответствующими собственными значениями на главной диагонали, $\text{[math]}$ — матрица, обратная матрице $\text{[math]}$ .

Спектр графа - это множество собственных значений матрицы смежности графа.

Обобщённый собственный вектор $\text{[math]}$ матрицы $\text{[math]}$ — вектор, который удовлетворяет определённым критериям, которые слабее, чем критерии для (обычных) собственных векторов.

Транспозиционная матрица — квадратная матрица размера $\text{[math]}$ , элементы которой получаются из элементов заданного $\text{[math]}$ -мерного вектора $\text{[math]}$ по формуле:

\text{[math]}

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.