ADE-классификация

${\displaystyle ADE}$-классификация — полный список однониточных диаграмм Дынкина — диаграмм, в которых отсутствуют кратные рёбра, что соответствует простым корням в системе корней, образующим углы ${\displaystyle \pi /2}$ (отсутствие ребра между вершинами) или ${\displaystyle 2\pi /3}$ (одиночное ребро между вершинами). Список состоит из:

${\displaystyle A_{n},\,D_{n},\,E_{6},\,E_{7},\,E_{8}}$.

Список содержит два из четырёх семейств диаграмм Дынкина (не входят ${\displaystyle B_{n}}$ и ${\displaystyle C_{n}}$) и три из пяти исключительных диаграмм Дынкина (не входят ${\displaystyle F_{4}}$ и ${\displaystyle G_{2}}$).

Список не является избыточным, если принять ${\displaystyle n\geqslant 4}$ для ${\displaystyle D_{n}}$. Если расширить семейства, то получаются исключительные изоморфизмы^[англ.]

${\displaystyle D_{3}\cong A_{3},E_{4}\cong A_{4},E_{5}\cong D_{5},}$

и соответствующие изоморфизмы классифицируемых объектов.

Вопрос о создании общего начала такой классификации (а не выявление параллелей опытным путём) был поставлен Арнольдом в докладе «Проблемы современной математики»^[1].

Классы ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle D}$, ${\displaystyle E}$ включают также однониточные конечные группы Коксетера с теми же диаграммами — в этом случае диаграммы Дынкина в точности совпадают с диаграммами Коксетера, поскольку нет кратных рёбер.

В терминах комплексных полупростых алгебр Ли:

• ${\displaystyle A_{n}}$ соответствует ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n+1}(\mathbf {C} ),}$ специальной линейной алгебре Ли^[англ.] операторов с нулевым следом,
• ${\displaystyle D_{n}}$ соответствует ${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{2n}(\mathbf {C} ),}$ чётной специальной ортогональной алгебре Ли кососимметрических операторов
• ${\displaystyle E_{6},E_{7},E_{8}}$ являются тремя из пяти исключительных алгебр Ли.

В терминах компактных алгебр Ли^[англ.] и соответствующих однониточных групп Ли:

• ${\displaystyle A_{n}}$ соответствует ${\displaystyle {\mathfrak {su}}_{n+1},}$ алгебре специальной унитарной группы ${\displaystyle SU(n+1)}$;
• ${\displaystyle D_{n}}$ соответствует ${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{2n}(\mathbf {R} ),}$ алгебре чётной проективной ортогональной группы^[англ.] ${\displaystyle PSO(2n)}$,
• ${\displaystyle E_{6},E_{7},E_{8}}$ являются тремя из пяти исключительных компактных алгебр Ли^[англ.].

Та же самая классификация подходит для дискретных подгрупп ${\displaystyle SU(2)}$, бинарной полиэдральной группы^[англ.]. По сути, бинарные полиэдральные группы соответствуют однониточным аффинным диаграммам Дынкина ${\displaystyle {\tilde {A}}_{n},{\tilde {D}}_{n},{\tilde {E}}_{k}}$, и задания этих групп можно понять в терминах этих диаграмм. Эта связь известна как соответствие Маккея^[англ.] (в честь Джона Маккея^[англ.]). Связь с правильными многогранниками описана в книге Диксона «Algebraic Theories» ^[2]. Соответствие использует построение графов Маккея^[англ.].

При этом ${\displaystyle ADE}$-соответствие не является соответствием правильных многогранников их группам отражений^[англ.]. Например, в ${\displaystyle ADE}$-соответствии тетраэдр, куб/октаэдр и додекаэдр/икосаэдр соответствуют ${\displaystyle E_{6},E_{7},E_{8}}$, в то время как группы отражений тетраэдра, куба и октаэдра, додекаэдра и икосаэдра являются заданиями групп Коксетера ${\displaystyle A_{3},BC_{3}}$ и ${\displaystyle H_{3}.}$

Орбиобразие ${\displaystyle \mathbf {C} ^{2}}$, построенное с помощью всех дискретных подгрупп, приводит к сингулярности типа ${\displaystyle ADE}$ в начале координат, которая называется дювалевской особенностью^[англ.].

Соответствие Маккея можно распространить и на многониточные диаграммы Дынкина при использовании пары бинарных полиэдральных групп. Это соответствие известно как соответствие Слодови (по имени немецкого математика Петера Слодови^[англ.])^[3].

${\displaystyle ADE}$-графы и расширенные (аффинные) ${\displaystyle ADE}$-графы можно описать в терминах маркировки некоторыми свойствами^[4], которые можно сформулировать в терминах дискретных операторов Лапласа ^[5] или матриц Картана. Доказательства в терминах матриц Картана можно найти в книге Каца «Infinite dimensional Lie algebras» ^[6].

Аффинные ${\displaystyle ADE}$-графы — это графы, допускающие позитивную маркировку (когда вершины помечаются положительными вещественными числами) со следующими свойствами:

Любая метка является полусуммой смежных вершин.

То есть существуют принимающие лишь положительные значения функции с собственным значением 1 дискретного лапласиана (сумма смежных вершин минус значение в вершине) — положительное решение однородного уравнения:

${\displaystyle \Delta \phi =\phi }$.

Эквивалентно, положительные функции в ядре ${\displaystyle \Delta -I}$. Результирующая нумерация является единственной с точностью до постоянного множителя, а с нормализацией, при которой минимальное число равно 1, состоит из малых целых чисел — от 1 до 6, которые зависят от графа.

Обычные ${\displaystyle ADE}$-графы — это только графы, допускающие положительную маркировку со следующими свойствами:

Любая метка равна полусумме смежных вершин плюс единица.

В терминах лапласианов это положительное решение однородного уравнения:

${\displaystyle \Delta \phi =\phi -2}$.

Результирующая нумерация является единственной (с точностью до постоянного множителя, значение которого определяется числом «2») и состоит из целых чисел. Для ${\displaystyle E_{8}}$ эти числа лежат в пределах от 58 до 270^[7].

Элементарные катастрофы также классифицируются с помощью ${\displaystyle ADE}$-классификации.

Диаграммы ${\displaystyle ADE}$ являются в точности колчанами конечного типа вследствие теоремы Габриэля^[англ.].

Существует также связь с обобщёнными четырёхугольниками, так как три невырожденных обобщённых четырёхугольника с тремя точками на каждой прямой соответствуют исключительным корням систем ${\displaystyle E_{6}}$, ${\displaystyle E_{7}}$ и ${\displaystyle E_{8}}$=^[8]. Классы ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle D}$ соответствуют вырожденным случаям, где множество прямых пусто или все прямые проходят через одну точку, соответственно^[9].

Существует глубокая связь между этими объектами, скрытыми за этой классификацией, и некоторые из этих связей можно понять через теорию струн и квантовую механику^[].

Арнольд предложил много других связей под рубрикой «математические троицы»^[10][11], а Маккей расширил эти соответствия. Арнольд использовал термин «троицы» с намёком на религию и предположил, что (в настоящее время) эти параллели скорее ближе к вере, чем к строгим доказательствам, хотя некоторые параллели хорошо проработаны. Далее троицы были подхвачены и другими авторами^[12][13][14]. Троицы Арнольда начинаются с ${\displaystyle \mathbb {R} ,\mathbb {C} ,\mathbb {H} }$ (вещественные числа, комплексные числа и кватернионы), которые, как он заметил, «все знают», и продолжены другими троицами, такими как «комплесизация» и «кватернизация» классических (вещественных) математических объектов по аналогии с поисками симплектических аналогий римановой геометрии, которые он предложил до этого в 1970-х годах. Кроме примеров из дифференциальной топологии (таких как характеристические классы), Арнольд рассматривает три симметрии правильных многогранников (тетраэдральная, октаэдральная, икосаэдральная) как соответствующие вещественным числам, комплексным числам и кватернионам, которые связаны с дальнейшими алгебраическими соответствиями Маккея.

Проще всего поддаются описанию соответствия Маккея^[англ.]. Во-первых, расширенные диаграммы Дынкина ${\displaystyle {\tilde {E}}_{6},{\tilde {E}}_{7},{\tilde {E}}_{8}}$ (соответствующие тетраэдральной, октаэдральной и икосаэдральной симметрий) имеют группы симметрии ${\displaystyle S_{3},S_{2},S_{1}}$, соответственно, и ассоциированные свёртки — диаграммы ${\displaystyle {\tilde {G}}_{2},{\tilde {F}}_{4},{\tilde {E}}_{8}}$ (при менее аккуратной записи признак расширения — тильда — часто опускается). Что более существенно, Маккей предположил соответствие между вершинами ${\displaystyle {\tilde {E}}_{8}}$ диаграмм и некоторыми классами смежности монстра, что известно как замечание Маккея о ${\displaystyle E_{8}}$^[15][16]. Маккей далее соотносит вершины ${\displaystyle {\tilde {E}}_{7}}$ с классами смежности в ${\displaystyle 2.B}$ (раширение порядка 2 группы Бэби-Монстр^[англ.]), а вершины ${\displaystyle {\tilde {E}}_{6}}$ с классами смежности в ${\displaystyle 3.Fi_{24}'}$ (расширение порядка 3 группы Фишера)^[16]. Это три самые большие спорадические группы, притом порядок расширения соответствует симметриям диаграммы.

Если перейти от больших простых групп к малым, группы, соответствующие правильным многогранникам, ${\displaystyle A_{4},S_{4}}$ и ${\displaystyle A_{5}}$ имеют связь с проективными специальными группами ${\displaystyle PSL(2,5)}$, ${\displaystyle PSL(2,7)}$ и ${\displaystyle PSL(2,11)}$ (порядка 60, 168 и 660)^[17][13]. Эти группы являются единственными (простыми) группами со значением ${\displaystyle p}$, таким, что ${\displaystyle PSL(2,p)}$ действует нетривиально на ${\displaystyle p}$ точек, факт, который восходит к работам Эвариста Галуа 1830-х годов. Фактически, группы разлагаются на произведение множеств (но не произведение групп) следующим образом: ${\displaystyle A_{4}\times Z_{5},}$ ${\displaystyle S_{4}\times Z_{7}}$ и ${\displaystyle A_{5}\times Z_{11}.}$ Эти группы связаны также с различными геометриями (начиная с работ Феликса Клейна 1870-х годов)^[18]. Ассоциированные геометрии (мозаики на римановых поверхностях), в которых можно видеть действие на ${\displaystyle p}$ точек, следующие: ${\displaystyle PSL(2,5)}$ является группой симметрий икосаэдра (род 0) на соединении пяти тетраэдров как 5-элементном множестве, ${\displaystyle PSL(2,7)}$ является группой симметрий квартики Клейна^[англ.] (род 3) на вложенной плоскости Фано как 7-элементном множестве (двойная плоскость порядка 2) и ${\displaystyle PSL(2,11)}$ является группой симметрий поверхности бакминстерфуллерена (род 70) на вложенной двойной плоскости Палея^[англ.] как 11-элементном множестве (двойная плоскость порядка 3)^[19]. Из перечисленных икосаэдры известны ещё с древности, квартики Клейна были введены Клейном в 1870-х годах, а бакибо́л-поверхности введены Пабло Мартином и Сигерманом в 2008 году.

Маккей связывает также ${\displaystyle E_{6}}$, ${\displaystyle E_{7}}$ и ${\displaystyle E_{8}}$ соответственно с 27 прямыми на кубической поверхности^[англ.], 28 двойными касательными квартики^[англ.] и 120 трижды касательными плоскостями канонической кривой шестого порядка с родом 4^[20][21].

• Эллиптическая поверхность^[англ.]

• Н. Бурбаки. Группы и алгебры Ли. — Москва: «Мир», 1972. — (Элементы математики).
• Vladimir Arnold. Mathematical developments arising from Hilbert problems / Felix E. Browder. — American Mathematical Society, 1976. — Т. 28. — (Proceedings of symposia in pure mathematics). (Problem VIII. The A-D-E classifications).
• Leonard E. Dickson. XIII: Groups of the Regular Solids; Quintic Equations // Algebraic Theories. — New York: Dover Publications, 1959.
• P.J. Cameron, J.M. Goethals, J.J. Seidel, E. E. Shult. Line graphs, root systems and elliptic geometry // Journal of Algebra. — 1976. — Вып. 43.
• Pablo Martin, David Singerman. From Biplanes to the Klein quartic and the Buckyball. — 17/04/2008.
• John F. Duncan. Groups and symmetries: from Neolithic Scots to John McKay / John Harnad, Pavel Winternitz. — Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, 2009. — Т. 47. — (CRM Proceedings & lecture notes). — ISBN 978-08218-4481-6.
• Bertram Kostant. The Graph of the Truncated Icosahedron and the Last Letter of Galois. — Notices Amer. Math. Soc.. — 1995. — Т. 42. См. The Embedding of PSl(2, 5) into PSl(2, 11) and Galois’ Letter to Chevalier.
• Lieven le Bruyn. Galois’ last letter. — 2008. Архивировано 15 августа 2010 года.
• Michiel Hazewinkel, Hesseling, JD. Siersma, F. Veldkamp. The ubiquity of Coxeter Dynkin diagrams. (An introduction of the A-D-E problem) // Nieuw Archief v. Wiskunde. — 1977. — Т. 35, вып. 3. — С. 257–307.
• John McKay. Graphs, singularities and finite groups // Proc. Symp. Pure Math.. — Amer. Math. Soc., 1980. — Т. 37. — С. 183-,265-.
• John McKay. The Geometric Vein, Coxeter Festschrift. — Berlin, 1982. — С. 549–.
• Victor G. Kac. Infinite-Dimensional Lie Algebras. — 3rd. — Cambridge: Cambridge University Press, 1990. — ISBN 0-521-46693-8.
• John McKay. A Rapid Introduction to ADE Theory. — 01/01/2001.
• R. A. Proctor. Two Amusing Dynkin Diagram Graph Classifications // The American Mathematical Monthly. — 1993. — Т. 100, вып. 10. — ISSN 0002-9890. — doi:10.2307/2324217. — JSTOR 2324217.
• J. McKay, Abdellah Sebbar. Frontiers in Number Theory, Physics, and Geometry, II. — Springer, 2007. — doi:10.1007/978-3-540-30308-4_10.
• R. Stekolshchik. Notes on Coxeter Transformations and the McKay Correspondence. — 2008. — (Springer Monographs in Mathematics). — ISBN 978-3-540-77398-6. — doi:10.1007/978-3-540-77398-3.
• Godsil Chris, Gordon Royle. Algebraic Graph Theory. — New York: Springer, 2001. — Т. 207. — (Graduate Texts in Mathematics). — ISBN 0-387-95241-1. Chapter 12
• Lieven le Bruyn. Arnold’s trinities. — 2008—2.
• Lieven le Bruyn. Arnold’s trinities version 2.0. — 2008—3.
• Lieven le Bruyn. the monster graph and McKay’s observation. — 2009. Архивировано 14 августа 2010 года.
• Joris van Hoboken. Platonic solids, binary polyhedral groups, Kleinian singularities and Lie algebras of type A,D,E. — University of Amsterdam, 2002. Архивировано 26 апреля 2012 года.

• John Baez, This Week’s Finds in Mathematical Physics Архивная копия от 7 мая 2015 на Wayback Machine: Week 62 Архивная копия от 30 декабря 2015 на Wayback Machine, Week 63 Архивная копия от 26 декабря 2015 на Wayback Machine, Week 64 Архивная копия от 27 декабря 2015 на Wayback Machine, Week 65 Архивная копия от 3 марта 2016 на Wayback Machine, August 28, 1995 through October 3, 1995, and Week 230 Архивная копия от 14 ноября 2015 на Wayback Machine, May 4, 2006
• The McKay Correspondence Архивная копия от 4 марта 2016 на Wayback Machine, Tony Smith