C*-алгебра

${\displaystyle C^{*}}$-алгебра — банахова алгебра с инволюцией, удовлетворяющей свойствам сопряжённого оператора.

Впервые были рассмотрены для применения в квантовой механике в качестве алгебр физически наблюдаемых объектов. Это направление исследований началось с матричной квантовой механики Вернера Гейзенберга и в более математически развитой форме с работ Паскуаля Йордана около 1933 года. Впоследствии Джон фон Нейман попытался установить общую структуру этих алгебр, создав серию работ о кольцах операторов. В этих работах рассматривался особый класс ${\displaystyle C^{*}}$-алгебр, впоследствии ставший известным как алгебры фон Неймана. В 1943 году Израиль Гельфанд и Марк Наймарк, используя понятие вполне регулярных колец, дали общее определение ${\displaystyle C^{*}}$-алгебр^[1], с того момента ${\displaystyle C^{*}}$-алгебры нашли широкое применение в алгебраических формулировках квантовой механики. Другой активной областью исследований стала классификация или определение степени возможной классификации для сепарабельных простых ядерных ${\displaystyle C^{*}}$-алгебр.

Частным случаем ${\displaystyle C^{*}}$-алгебры является комплексная алгебра над полем ${\displaystyle A}$ линейных непрерывных операторов на комплексном гильбертовом пространстве с двумя дополнительными свойствами:

• ${\displaystyle A}$ является топологически замкнутым множеством в топологии операторной нормы,
• ${\displaystyle A}$ замкнуто относительно операции взятия сопряжений операторов.

Другой важный класс негильбертовых ${\displaystyle C^{*}}$-алгебр составляют алгебры непрерывных функций ${\displaystyle C_{0}(X)}$ на пространстве ${\displaystyle X}$.

Согласно определению, данному Гельфандом и Наймарком${\displaystyle C^{*}}$-алгеброй называют^[2], ${\displaystyle C^{*}}$-алгебра определяется как банахова алгебра ${\displaystyle A}$ над полем комплексных чисел, для каждого элемента которой ${\displaystyle x\in A}$ которой определено отображение ${\displaystyle x\mapsto x^{*}}$ со следующими свойствами:

• инволютивность: ${\displaystyle x^{**}=(x^{*})^{*}=x}$,
• согласованность со сложением: ${\displaystyle (x+y)^{*}=x^{*}+y^{*}}$,
• согласованность с умножением: ${\displaystyle (xy)^{*}=y^{*}x^{*}}$,
• для всякого ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ выполнено ${\displaystyle (\lambda x)^{*}={\overline {\lambda }}x^{*}}$,
• выполнено так называемое ${\displaystyle C^{*}}$-тождество: ${\displaystyle \|x^{*}x\|=\|x\|\|x^{*}\|}$

Все эти свойства без ${\displaystyle C^{*}}$-тожества определяют ${\displaystyle ^{*}}$-алгебру (то есть ${\displaystyle C^{*}}$-алгебра — это ${\displaystyle ^{*}}$-алгебра с ${\displaystyle C^{*}}$-тождеством). ${\displaystyle C^{*}}$-тождество эквивалентно формуле:

${\displaystyle \|xx^{*}\|=\|x\|^{2}}$.

${\displaystyle C^{*}}$-тождество является весьма сильным требованием, например, вместе с формулой спектрального радиуса из него следует, что ${\displaystyle C^{*}}$-норма однозначно определяется алгебраической структурой:

${\displaystyle \|x\|^{2}=\|x^{*}x\|=\sup\{|\lambda |:x^{*}x-\lambda \,1\ {\text{— необратим}}\}}$.

Ограниченный оператор ${\displaystyle \pi \colon A\to B}$ между ${\displaystyle C^{*}}$-алгебрами ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ называется ${\displaystyle ^{*}}$-гомоморфизмом, если для всех ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ из ${\displaystyle A}$ выполняется:

${\displaystyle \pi (xy)=\pi (x)\pi (y)}$

и для всех ${\displaystyle x}$ из ${\displaystyle A}$ выполняется:

${\displaystyle \pi (x^{*})=\pi (x)^{*}}$.

В случае ${\displaystyle C^{*}}$-алгебр, любой ${\displaystyle ^{*}}$-гомоморфизм ${\displaystyle \pi }$ между ${\displaystyle C^{*}}$-алгебрами является сжимающим, то есть ограниченным нормой ${\displaystyle \leqslant 1}$. Кроме того, инъективный ${\displaystyle ^{*}}$-гомоморфизм между ${\displaystyle C^{*}}$-алгебрами является изометрическим. Эти свойства являются следствиями ${\displaystyle C^{*}}$-тождества.

Биективный ${\displaystyle ^{*}}$-гомоморфизм ${\displaystyle \pi }$ называется ${\displaystyle C^{*}}$-изоморфизмом, и в этом случае ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ называются изоморфными.

• Дж. Мёрфи. C*-алгебры и теория операторов = C*-Algebras and Operator Theory. — М.: Факториал, 1997. — ISBN 5-88688-016-X.
• Arveson W.^[англ.]. An Invitation to ${\displaystyle C^{*}}$-Algebra (англ.). — New York: Springer-Verlag, 1976. — Vol. 13 «Graduate texts in mathematics». — 106 p. — ISBN 0-387-90176-0.
• Connes, Alain, Non-commutative geometry, ISBN 0-12-185860-X
• Dixmier, Jacques (1969), Les ${\displaystyle C^{*}}$-algebres et leurs representations, Gauthier-Villars, ISBN 0-7204-0762-1
• Doran, Robert S.; Belfi, Victor A. (1986), Characterizations of ${\displaystyle C^{*}}$-algebras: The Gelfand-Naimark Theorems, CRC Press, ISBN 978-0-8247-7569-8
• Emch, G. (1972), Algebraic Methods in Statistical Mechanics and Quantum Field Theory, Wiley-Interscience, ISBN 0-471-23900-3
• A. I. Shtern (2001), "C* algebra", in Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• Sakai, S. (1971), ${\displaystyle C^{*}}$-algebras and W*-algebras, Springer, ISBN 3-540-63633-1
• Segal, Irving (1947), "Irreducible representations of operator algebras", Bulletin of the American Mathematical Society, 53 (2): 73—88, doi:10.1090/S0002-9904-1947-08742-5