CUSUM-тест

Перейти к навигации Перейти к поиску

CUSUM-тест (сокр. от англ. CUmulative SUM — «кумулятивная сумма») — применяемый в эконометрике статистический тест для проверки стабильности параметров модели на всей выборке. Тест основан на так называемых рекурсивных остатках.

Тест предложен Брауном, Дарбином и Эвансом в 1975 году.

Рекурсивные остатки

Данный тест использует так называемые рекурсивные остатки, которые получаются при использовании рекурсивного метода наименьших квадратов. Уже изучение самих рекурсивных остатков позволяет делать выводы о стабильности параметров модели, так как математическое ожидание их при стабильности модели равно нулю, а стандартное отклонение — стандартной ошибке модели.

Сущность и процедура теста

Статистика теста определяется следующим образом:

$CUSUM_{t}={\sum _{r=k+1}^{t}w_{r}}/{s}~,~~t=k+1,...,n$

где $k$ — количество параметров модели, $s$ — стандартная ошибка модели.

Если параметры модели стабильны, то математическое ожидание этой величины равно нулю для всех $t$ . Соответственно, можно построить доверительные границы в виде ограничивающих линий на графике. Для 5%-го уровня значимости доверительные границы получаются путём соединения двух точек:

$k\pm 0.948{\sqrt {n-k}}~,~n\pm 3\cdot 0.948{\sqrt {n-k}}$

Если график статистики выходит за пределы линий, то параметры модели, вероятно, являются нестабильными — необходимо либо изменить модель, либо разделить выборку на однородные подвыборки.

Квадратический CUSUM (CUSUM-SQ)

Кроме теста кумулятивных рекурсивных остатков, используется также тест, основанный на кумулятивной сумме квадратов рекурсивных остатков, статистика которого имеет вид:

$CUSUMSQ_{t}={\sum _{r=k+1}^{t}w_{r}^{2}}~/{\sum _{r=k+1}^{n}w_{r}^{2}}$

Математическое ожидание этой статистики равно ${\frac {t-k}{n-k}}$ . Доверительные границы строятся на основе специальных таблиц критических значений.

См. также

Литература

Michèle Basseville and Igor V. Nikiforov. Detection of Abrupt Changes: Theory and Application (англ.). — Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1993. — ISBN 0-13-126780-9.
Mishra, S., Vanli, O. A., & Park, C (2015). "A Multivariate Cumulative Sum Method for Continuous Damage Monitoring with Lamb-wave Sensors" Архивная копия от 12 апреля 2018 на Wayback Machine, International Journal of Prognostics and Health Management, ISSN 2153-2648

Похожие исследовательские статьи

Корреля́ция, или корреляцио́нная зави́симость — статистическая взаимосвязь двух или более случайных величин, при этом изменения значений одной или нескольких из этих величин сопутствуют систематическому изменению значений другой или других величин.

Стоимость под риском — стоимостная мера риска. Это выраженная в денежных единицах оценка величины, которую не превысят ожидаемые в течение данного периода времени потери с заданной вероятностью.

t-критерий Стьюдента — общее название для класса методов статистической проверки гипотез, основанных на распределении Стьюдента. Наиболее частые случаи применения t-критерия связаны с проверкой равенства средних значений в двух выборках.

Метод наименьших квадратов (МНК) — математический метод, применяемый для решения различных задач, основанный на минимизации суммы квадратов отклонений некоторых функций от искомых переменных. Он может использоваться для «решения» переопределенных систем уравнений, для поиска решения в случае обычных нелинейных систем уравнений, для аппроксимации точечных значений некоторой функции. МНК является одним из базовых методов регрессионного анализа для оценки неизвестных параметров регрессионных моделей по выборочным данным.

Среднеквадрати́ческое отклонение — наиболее распространённый показатель рассеивания значений случайной величины относительно её математического ожидания. Обычно означает квадратный корень из дисперсии случайной величины, но иногда может означать тот или иной вариант оценки этого значения.

Погре́шность измере́ния — отклонение измеренного значения величины от её истинного (действительного) значения. Погрешность измерения является характеристикой точности измерения.

Распределе́ние Стью́дента в теории вероятностей — это однопараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений. Уильям Сили Госсет первым опубликовал работы, посвящённые этому распределению, под псевдонимом «Стьюдент».

Ме́тод максима́льного правдоподо́бия или метод наибольшего правдоподобия в математической статистике — это метод оценивания неизвестного параметра путём максимизации функции правдоподобия. Основан на предположении о том, что вся информация о статистической выборке содержится в функции правдоподобия. Метод максимального правдоподобия был проанализирован, рекомендован и значительно популяризирован Р. Фишером между 1912 и 1922 годами.

Регре́ссия (лат. regressio — обратное движение, отход) в теории вероятностей и математической статистике — односторонняя стохастическая зависимость, устанавливающая соответствие между случайными переменными, то есть математическое выражение, отражающее связь между зависимой переменной у и независимыми переменными х при условии, что это выражение будет иметь статистическую значимость. В отличие от чисто функциональной зависимости y=f(x), когда каждому значению независимой переменной x соответствует одно определённое значение величины y, при регрессионной связи одному и тому же значению x могут соответствовать в зависимости от случая различные значения величины y. Если при каждом значении $\text{[math]}$ наблюдается $\text{[math]}$ значений y_i1…y_{in_i} величины y, то зависимость средних арифметических $\text{[math]}$ от $\text{[math]}$ и является регрессией в статистическом понимании этого термина.

Распределе́ние (канони́ческое) Ги́ббса — распределение состояний макроскопической термодинамической системы частиц, находящейся в тепловом равновесии с термостатом.

Критерий Дарбина—Уотсона — статистический критерий, используемый для тестирования автокорреляции первого порядка элементов исследуемой последовательности. Наиболее часто применяется при анализе временных рядов и остатков регрессионных моделей.

Статистика — измеримая числовая функция от выборки, не зависящая от неизвестных параметров распределения элементов выборки.

Тест Ва́льда — статистический тест, используемый для проверки ограничений на параметры статистических моделей, оценённых на основе выборочных данных. Является одним из трёх базовых тестов проверки ограничений наряду с тестом отношения правдоподобия и тестом множителей Лагранжа. Тест является асимптотическим, то есть для достоверности выводов требуется достаточно большой объём выборки.

Тест множителей Лагранжа — статистический тест, используемый для проверки ограничений на параметры статистических моделей, оцененных на основе выборочных данных. Является одним из трёх базовых тестов проверки ограничений наряду с тестом отношения правдоподобия и тестом Вальда. Тест является асимптотическим, то есть для достоверности выводов требуется достаточно большой объем выборки.

Экзогенность — буквально «внешнее происхождение» — свойство факторов эконометрических моделей, заключающееся в предопределённости, заданности их значений, независимости от функционирования моделируемой системы. Экзогенность противоположна эндогенности. Значения экзогенных переменных определяются вне модели, и на их основе в рамках рассматриваемой модели определяются значения эндогенных переменных.

Тест Чоу — применяемая в эконометрике процедура проверки стабильности параметров регрессионной модели, наличия структурных сдвигов в выборке. Фактически тест проверяет неоднородность выборки в контексте регрессионной модели.

Рекурсивный или рекуррентный метод наименьших квадратов (МНК) — применяемая в эконометрике итеративная процедура оценки параметров регрессионной модели. Данный метод применяется при мультиколлинеарности факторов. Также получающиеся в результате применения рекурсивного МНК используются при тестировании стабильности параметров модели.

Модель бинарного выбора — применяемая в эконометрике модель зависимости бинарной переменной от совокупности факторов. Построение обычной линейной регрессии для таких переменных теоретически некорректно, так как условное математическое ожидание таких переменных равно вероятности того, что зависимая переменная примет значение 1, а линейная регрессия допускает и отрицательные значения и значения выше 1. Поэтому обычно используются некоторые интегральные функции распределения. Чаще всего используются нормальное распределение (пробит), логистическое распределение (логит), распределение Гомперца (гомпит).

Стандартная ошибка среднего в математической статистике — статистический параметр, величина, характеризующая выборочное распределение, в частности стандартное отклонение выборочного среднего, рассчитанное по выборке размера $\text{[math]}$ из генеральной совокупности. Термин был впервые введён Удни Юлом в 1897 году. Величина стандартной ошибки зависит от дисперсии генеральной совокупности $\text{[math]}$ и объёма выборки $\text{[math]}$ .

Онлайновое машинное обучение — это метод машинного обучения, в котором данные становятся доступными в последовательном порядке и используются для обновления лучшего предсказания для последующих данных, выполняемого на каждом шаге обучения. Метод противоположен пакетной технике обучения, в которой лучшее предсказание генерируется за один раз, исходя из полного тренировочного набора данных. Онлайновое обучение является общей техникой, используемой в областях машинного обучения, когда невозможна тренировка по всему набору данных, например, когда возникает необходимость в алгоритмах, работающих с внешней памятью. Метод используется также в ситуациях, когда алгоритму приходится динамически приспосабливать новые схемы в данных или когда сами данные образуются как функция от времени, например, при предсказании цен на фондовом рынке. Алгоритмы онлайнового обучения могут быть склонны к катастрофическим помехам, проблеме, которая может быть решена с помощью подхода пошагового обучения.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.