-матрица Вигнера представляет собой матрицу неприводимого представления групп SU (2) и SO (3). Комплексное сопряжение
-матрицы является собственной функцией гамильтониана сферических и симметричных жёстких ротаторов. Матрица была введена в 1927 году Юджином Вигнером.
Определение D-матрицы Вигнера
Пусть
,
,
образующие алгебры Ли
и
. В квантовой механике эти три оператора являются компонентами векторного оператора известного как угловой момент. Примерами могут служить момент электрона в атоме, электронный спин и момент количества движения жёсткого ротатора. Во всех случаях три оператора удовлетворяют следующим коммутационным соотношениям
![{\displaystyle [J_{x},\;J_{y}]=iJ_{z},\quad [J_{z},\;J_{x}]=iJ_{y},\quad [J_{y},\;J_{z}]=iJ_{x},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8029e0256a267227d0bd0b09458e3e2f384d115)
где
это чисто мнимое число и постоянная Планка
был задана равной единице. Оператор

является оператором Казимира из
(или
, в зависимости от обстоятельств). Он может быть диагонализирован вместе с
(Выбор этого оператора определяется соглашением), который коммутирует с
. То есть, можно показать, что существует полный набор кетов с

где
и
. Для
квантовое число
является целым.
Оператор поворота можно записать в виде

где
— углы Эйлера.
-матрица Вигнера представляет собой квадратную матрицу размерности
с общим элементом

Матрица с общим элементом

известна как малая
-матрица Вигнера.
Список элементов d-матрицы
для 


для 




для 






для
[1]









Элементы
-матрицы Вигнера с обратными нижними индексами находятся следующим соотношением:
.
См. также
Примечания
- ↑ Edén, M. Computer simulations in solid-state NMR. I. Spin dynamics theory (англ.) // Concepts Magn. Reson. : journal. — 2003. — Vol. 17A, no. 1. — P. 117—154. — doi:10.1002/cmr.a.10061.