F-сигма-множество

Перейти к навигации Перейти к поиску

F_σ-множество (читается F-сигма-множество) — счетное объединение замкнутых множеств. Обозначение «F-сигма» происходит от первой буквы слова фр. Fermé (замкнутый), и греческой буквы σ (сигма), обозначающей в данном контексте суммирование^[1]. Двойственным понятием к понятию F-сигма-множества является понятие G-дельта-множества.

Свойства

В метризуемых пространствах каждое открытое множество является F-сигма-множеством.

Дополнение к F_σ-множеству является G-дельта-множеством.

Объединение счетного числа F_σ-множеств является F_σ-множеством.

Пересечением конечного числа F_σ-множеств является F_σ-множеством.

F-сигма-множества — то же что $\mathbf {\Sigma } _{2}^{0}$ в иерархии Бореля^[англ.].

Примеры

Каждое замкнутое множество является F_σ-множеством.

Множество $\mathbb {Q}$ рациональных чисел является F_σ-подмножеством вещественной прямой $\mathbb {R}$ .
Дополнение $\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$ , то есть множество иррациональных чисел не является F-сигма-множеством.

В тихоновских пространствах каждое счётное множество является F-сигма-множеством, поскольку любое одноточечное множество замкнуто.

Множество на координатной плоскости из всех точек $(x,y)$ таких, что $x/y$ рационально, является F-сигма-множеством, так как оно является объединением всех прямых, проходящих через начало координат с рациональным угловым коэффициентом.

См. также

G-дельта-множество — двойственное понятие.

Примечания

↑ Stein, Elias M.; Shakarchi, Rami (2009), Real Analysis: Measure Theory, Integration, and Hilbert Spaces, Princeton University Press, p. 23, ISBN 9781400835560 Источник (неопр.). Дата обращения: 15 июля 2017. Архивировано 28 июля 2014 года..

Похожие исследовательские статьи

Топологи́ческое простра́нство — множество, для элементов которого определено, какие из них близки друг к другу. Является центральным понятием общей топологии.

Ме́ра мно́жества — числовая характеристика множества, интуитивно её можно понимать как массу множества при некотором распределении массы по пространству. Понятие меры множества возникло в теории функций вещественной переменной при развитии понятия интеграла.

Случайная величина — переменная, значения которой представляют собой численные исходы некоторого случайного феномена или эксперимента. Другими словами, это численное выражение результата случайного события. Случайная величина является одним из основных понятий теории вероятностей. Для обозначения случайной величины в математике принято использовать греческую букву «кси» $\text{[math]}$ . Если определять случайную величину более строго, то она является функцией $\text{[math]}$ , значения $\text{[math]}$ которой численно выражают исходы $\text{[math]}$ случайного эксперимента. Одним из требований к данной функции будет её измеримость, что служит для отсеивания тех случаев, когда значения данной функции $\text{[math]}$ бесконечно чувствительны к малейшим изменениям в исходах случайного эксперимента. Во многих практических случаях можно рассматривать случайную величину как произвольную функцию из $\text{[math]}$ в $\text{[math]}$ .

σ-алгебра — алгебра множеств, замкнутая относительно операции счётного объединения. Сигма-алгебры играют важнейшую роль в теории меры и интегралов Лебега, а также в теории вероятностей.

Алгебра множеств в теории множеств — это непустая система подмножеств некоторого множества $\text{[math]}$ , замкнутая относительно операций дополнения (разности) и объединения (суммы).

Полное метрическое пространство — метрическое пространство, в котором каждая фундаментальная последовательность сходится.

Замкнутое множество — подмножество $\text{[math]}$ топологического пространства $\text{[math]}$ с топологией $\text{[math]}$ , дополнение к которому открыто: $\text{[math]}$ . Впервые определены Георгом Кантором в 1884 году.

Фу́нкция — соответствие между двумя множествами, при котором каждому элементу одного множества соответствует единственный элемент другого.

Категория Бэра — один из способов различать «большие» и «маленькие» множества. Подмножество топологического пространства может быть первой или второй категории Бэра.

Прямо́е, или дека́ртово произведе́ние двух непустых множеств — множество, элементами которого являются все возможные упорядоченные пары элементов исходных множеств. Предполагается, что впервые «декартово» произведение двух множеств ввёл Георг Кантор.

Критерий Коши — ряд утверждений в математическом анализе:

Критерий сходимости последовательности — на котором основывается определение полного метрического пространства.
Критерий сходимости числовых рядов.
Критерий Коши равномерной сходимости несобственных интегралов.
Критерий Коши или число Коши — критерий подобия в механике сплошных сред.

Ба́зис — упорядоченный набор векторов в векторном пространстве или модуле, такой, что любой вектор этого пространства может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации векторов из этого набора. Векторы базиса называются базисными векторами.

<span class="mw-page-title-main">Интеграл Лебега</span>

Интеграл Лебе́га — это обобщение интеграла Римана на более широкий класс функций.

Последовательность функций сходится почти всюду к предельной функции, если множество точек, для которых сходимость отсутствует, имеет нулевую меру.

Алгебраическая геометрия — раздел математики, который объединяет алгебру и геометрию. Главным предметом изучения классической алгебраической геометрии, а также в широком смысле и современной алгебраической геометрии, являются множества решений систем алгебраических уравнений. Современная алгебраическая геометрия во многом основана на методах общей алгебры для решения задач, возникающих в геометрии.

Произведение топологических пространств — это топологическое пространство, полученное, как множество, декартовым произведением исходных топологических пространств, и снабжённое естественной топологией, называемой топологией произведения или тихоновской топологией. Слово «естественная» здесь употребляется в смысле теории категорий и означает, что эта топология удовлетворяет некоторому универсальному свойству.

Ба́наховой алгеброй над комплексным или действительным полем называется ассоциативная алгебра, являющаяся при этом банаховым пространством. При этом умножение в ней должно быть согласовано с нормой:

\text{[math]}

Арифметическое множество — множество натуральных чисел $\text{[math]}$ , которое может быть определено формулой в языке арифметики первого порядка, то есть если существует такая формула $\text{[math]}$ с одной свободной переменной $\text{[math]}$ , что $\text{[math]}$ . Аналогично, множество кортежей натуральных чисел $\text{[math]}$ называется арифметическим, если существует такая формула $\text{[math]}$ , что $\text{[math]}$ . Также можно говорить об арифметических множествах кортежей натуральных чисел, конечных последовательностей натуральных чисел, формул и, вообще, об арифметических множествах любых объектов, кодируемых натуральными числами.

G-дельта-множество — борелевское множество в топологическом пространстве, которое является счётным пересечением открытых множеств.

В математическом анализе множество меры 0, также известное как «множество с нулевым содержимым» — измеримое по Лебегу множество действительных чисел, имеющее меру ноль. Его можно охарактеризовать как множество, которое можно покрыть счётным объединением интервалов произвольно малой общей длины.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.