G-функция Барнса

G-функция Барнса (обычно обозначаемая ${\displaystyle G(z)}$) — функция, которая расширяет понятие суперфакториала на поле комплексных чисел. Она связана с Гамма-функцией, K-функцией и постоянной Глейшера—Кинкелина. ${\displaystyle G}$-функция названа в честь английского математика Эрнеста Уильяма Барнса^[1].

Формально ${\displaystyle G}$-функция Барнса определяется (в форме произведения Вейерштрасса) как

${\displaystyle G(z+1)=(2\pi )^{z/2}e^{-\left[z(z+1)+\gamma z^{2}\right]/2}\prod _{n=1}^{\infty }\left[\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}e^{-z+z^{2}/(2n)}\right]}$

где ${\displaystyle \gamma }$ — постоянная Эйлера—Маскерони.

${\displaystyle G}$-функция Барнса удовлетворяет разностному уравнению

${\displaystyle G(z+1)=\Gamma (z)G(z)}$

Таким образом,

${\displaystyle G(n)=\operatorname {sf} (n-2)}$, где ${\displaystyle \operatorname {sf} (x)}$— суперфакториал ${\displaystyle x}$.

Например,

${\displaystyle G(8)=\operatorname {sf} (6)=6!\cdot 5!\cdot 4!\cdot 3!\cdot 2!\cdot 1!=24883200}$

если принять, что ${\displaystyle G(1)=1}$. В дифференциальном уравнении подразумевается, что ${\displaystyle G}$ принимает следующие значение при целых значениях аргумента:

${\displaystyle G(n)={\begin{cases}0&{\mbox{if }}n=0,-1,-2,\dots \\\prod _{i=0}^{n-2}i!&{\mbox{if }}n=1,2,\dots \end{cases}}}$

таким образом

${\displaystyle G(n)={\frac {(\Gamma (n))^{n-1}}{K(n)}}}$

где Γ — Гамма-функция и K — K-функция. Дифференциальное уравнение единственным образом определяет ${\displaystyle G}$-функцию, если добавлено условие выпуклости: ${\displaystyle (\forall x\geq 1)\,{\frac {\mathrm {d} ^{3}}{\mathrm {d} x^{3}}}\log(G(x))\geq 0}$^[2].

Дифференциальное уравнение для ${\displaystyle G}$-функции и функциональное уравнение для Гамма-функции приводят к следующим функциональным уравнениям для ${\displaystyle G}$-функции, доказанным Германом Кинкелином:

${\displaystyle G(1-z)=G(1+z){\frac {1}{(2\pi )^{z}}}\exp \int _{0}^{z}\pi x\cot \pi x\,dx.}$

Схожая с Гамма-функцией, ${\displaystyle G}$-функция также имеет формулу умножения^[3]:

${\displaystyle G(nz)=K(n)n^{n^{2}z^{2}/2-nz}(2\pi )^{-{\frac {n^{2}-n}{2}}z}\prod _{i=0}^{n-1}\prod _{j=0}^{n-1}G\left(z+{\frac {i+j}{n}}\right),}$

где

${\displaystyle K(n)=e^{-(n^{2}-1)\zeta ^{\prime }(-1)}\cdot n^{\frac {5}{12}}\cdot (2\pi )^{(n-1)/2}\,=\,(Ae^{-{\frac {1}{12}}})^{n^{2}-1}\cdot n^{\frac {5}{12}}\cdot (2\pi )^{(n-1)/2}.}$

Здесь ${\displaystyle \zeta ^{\prime }}$ — это дзета-функция Римана, ${\displaystyle A}$ — это постоянная Глейшера—Кинкелина.