h-кобордизм

h-кобордизм — бордизм ${\displaystyle (W;M,M')}$, где ${\displaystyle W}$ — компактное дифференцируемое многообразие, край которого ${\displaystyle \partial W}$ — объединение непересекающихся замкнутых многообразий ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle M'}$, являющихся деформационными ретрактами ${\displaystyle W}$. Простейший пример — тривиальный ${\displaystyle h}$-кобордизм

${\displaystyle (M\times [0,1];M\times 0,M\times 1).}$

Многообразия ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle M'}$ называются ${\displaystyle h}$-кобордантными, если существует ${\displaystyle h}$-кобордизм ${\displaystyle (W;M,M')}$ соединяющий их.

Теорема об ${\displaystyle h}$-кобордизме даёт условия на то, когда ${\displaystyle h}$-кобордизм является тривиальным. Теорему первым доказал Стивен Смейл, который получил премию Филдса за результаты связанные с этой теоремой. С помощью теоремы он доказал обобщенную гипотезу Пуанкаре для размерностей ${\displaystyle \geq 5}$.

• (Теорема об ${\displaystyle h}$-кобордизме) Если ${\displaystyle (W;M,M')}$ — ${\displaystyle h}$-кобордизм, а ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle M'}$ — односвязные гладкие (или кусочно линейные) многообразия и ${\displaystyle \operatorname {dim} W\geq 6}$, то ${\displaystyle W}$ диффеоморфно (кусочно линейно изоморфно) тривиальному ${\displaystyle h}$-кобордизму.
  • В частности, ${\displaystyle M}$ диффеоморфно ${\displaystyle M'}$.

• Если убрать условие односвязности кобордантных многообразий ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle M'}$, то препятствием к тривиальности кобордизма между ними является кручение Уайтхеда^[1]. Теорема об ${\displaystyle s}$-кобордизме гласит, что кобордизм между двумя многообразиями является тривиальным тогда и только тогда, когда кручение Уайтхеда обнуляется.

• Милнор, Дж., Теорема об ${\displaystyle h}$-кобордизме, М., 1969;
• Smale S., Generalized Poincare's Conjecture in Dimensions Greater Than Four , The Ann. of Math., 2nd Ser., Vol 74, No. 2. (Sep ., 1961), pp. 391-406.