H-пространство

H-пространство — обобщение понятия топологической группы определённого типа.

Связаное топологическое пространство ${\displaystyle X}$ вместе с непрерывным отображением

${\displaystyle \mu \colon X\times X\to X}$

с единичным элементом, то есть элементом ${\displaystyle e\in X}$ такое, что

${\displaystyle \mu (e,x)=\mu (x,e)=x}$

для любого ${\displaystyle x\in X}$ называется H-пространством.

• Иногда ограничиваются более слабым условием, что отображения ${\displaystyle x\mapsto \mu (e,x)}$ и ${\displaystyle x\mapsto \mu (x,e)}$ гомотопны тождественному (иногда с фиксированным ${\displaystyle e\in X}$).
  • Данные три определения являются эквивалентными для СW-комплексов.

• Каждая топологическая группа является H-пространством.
• Для произвольного топологического пространства ${\displaystyle X}$ пространство ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{X}}$ всех непрерывных отображений ${\displaystyle X\to X}$, гомотопных тождественному, является H-пространством.
  • При этом ${\displaystyle \mu \colon {\mathcal {H}}_{X}\times {\mathcal {H}}_{X}\to {\mathcal {H}}_{X}}$ можно определить как композицию ${\displaystyle \mu (f,g)=f\circ g}$.

• Среди сфер, только ${\displaystyle \mathbb {S} ^{0}}$, ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}}$, ${\displaystyle \mathbb {S} ^{3}}$ и ${\displaystyle \mathbb {S} ^{7}}$ являются H-пространствами. При этом
  • Каждое из этих пространств образует подмножество элементов с единичной нормой среди  вещественных чисел, комплексных чисел, кватернионов и октонионов соответственно.
  • ${\displaystyle \mathbb {S} ^{0}}$, ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}}$ и ${\displaystyle \mathbb {S} ^{3}}$ являются группами Ли, а ${\displaystyle \mathbb {S} ^{7}}$ — нет.

• Фундаментальная группа H-пространства является абелевой.

• Топологическая группа
• Когомологии Александрова — Чеха
• Алгебра Хопфа

• Hatcher, Allen (2002), Algebraic Topology, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-79540-0. Section 3.C