K-пространство (топология)

k-пространство (компактно порождённое пространство) — топологическое пространство, в котором замкнуты все множества, пересечение которых с каждым компактным подмножеством этого пространства замкнуто. Часто к этому добавляют требование хаусдорфовости пространства.

Топологическое пространство ${\displaystyle X}$ называют k-пространством, если его топология согласована с семейством всех его компактных подпространств, то есть если в нём для каждого подмножества ${\displaystyle A\subset X}$ выполнено одно из следующих эквивалентных условий:

• Множество ${\displaystyle A}$ замкнуто в ${\displaystyle X}$ тогда и только тогда, когда всякое его пересечение ${\displaystyle A\cap K}$ с каждым компактным множеством ${\displaystyle K\subset X}$ замкнуто в этом множестве ${\displaystyle K}$.
• Множество ${\displaystyle A}$ открыто в ${\displaystyle X}$ тогда и только тогда, когда всякое его пересечение ${\displaystyle A\cap K}$ с каждым компактным множеством ${\displaystyle K\subset X}$ открыто в этом множестве ${\displaystyle K}$.

Часто под k-пространством понимают только хаусдорфовы пространства, удовлетворяющие вышеуказанному определению.

Для хаусдорфовых пространств можно дать следующее эквивалентное определение k-пространства: хаусдорфово пространство ${\displaystyle X}$ является k-пространством, в том и только в том случае, если оно есть образ некоторого локально компактного хаусдорфова пространства при факторном отображении (то есть оно гомеоморфно некоторому факторпространству локально компактного хаусдорфова пространства).

Отображение ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ k-пространства ${\displaystyle X}$ в произвольное топологическое пространство ${\displaystyle Y}$ непрерывно в том и только в том случае, если всякое сужение этого отображения ${\displaystyle f|_{K}}$ на компактное множество ${\displaystyle K}$ непрерывно.

Непрерывное отображение ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ произвольного топологического пространство ${\displaystyle X}$ в k-пространство ${\displaystyle Y}$ замкнуто (открыто, факторно) в том и только в том случае, если для каждого компактного подмножества ${\displaystyle K}$ из области значений ${\displaystyle Y}$ сужение этого отображения ${\displaystyle f_{K}\colon f^{-1}(K)\to K}$ замкнуто (соответственно открыто, факторно).

Если даны два факторных отображения ${\displaystyle f_{1}\colon X_{1}\to Y_{1}}$ и ${\displaystyle f_{2}\colon X_{2}\to Y_{2}}$, у которых области определения ${\displaystyle X_{1}}$ и ${\displaystyle X_{2}}$ и произведение областей значений ${\displaystyle Y_{1}\times Y_{2}}$ являются k-пространствами, то декартово произведение этих отображений ${\displaystyle f_{1}\times f_{2}\colon X_{1}\times X_{2}\to Y_{1}\times Y_{2}}$ является факторным отображением.

Каждое открытое, а также каждое замкнутое подпространство хаусдорфова k-пространства является k-пространством. Однако произвольное подпространство хаусдорфова k-пространства может не быть k-пространством.

Сумма семейства топологических пространств является k-пространством тогда и только тогда, когда все пространства из этого семейства являются k-пространствами.

Произведение хаусдорфова k-пространства и локально компактного хаусдорфова пространства является k-пространством. При этом произведение двух k-пространств в общем случае не является k-пространством.

Хаусдорфов образ хаусдорфова k-пространства при факторном (в частности, при открытом или замкнутом) отображении является k-пространством. При этом образ хаусдорфова k-пространства при произвольном непрерывном отображении может не быть k-пространством, даже если он совершенно нормален.

Всякое полное по Чеху пространство (в частности любое локально компактное хаусдорфово пространство, а следовательно и любое топологическое многообразие) является k-пространством.

Каждое секвенциальное пространство (в частности любое пространство с первой аксиомой счётности, а следовательно и любое метрическое пространство) является k-пространством.

Всякое пространство точечно счётного типа является k-пространством.

Каждый CW-комплекс является k-пространством.

• Энгелькинг, Р. Общая топология. — М.: Мир, 1986. — 752 с.
• Келли, Дж. Л. Общая топология. — М.: Наука, 1968.
• Спеньер, Э. Алгебраическая топология. — М.: Мир, 1971. — 680 с.