K-ядро

K-ядро (от англ. kernel) — принцип оптимальности в кооперативных играх, впервые введен в работе М. Дэвиса и М. Машлера (1965).

Пусть задана кооперативная игра с характеристической функцией ${\displaystyle \nu :2^{N}\to \mathbb {R} }$ и ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{N}}$ — эффективный вектор выигрышей. Максимальный излишек игрока ${\displaystyle i}$ над игроком ${\displaystyle j}$ по отношению к ${\displaystyle x}$ определяется как

${\displaystyle s_{ij}^{\nu }(x)=\max \left\{\nu (S)-\sum _{k\in S}x_{k}:S\subseteq N\setminus \{j\},S\ni i\right\}}$.

Максимальный излишек представляет собой наибольший выигрыш, который игрок ${\displaystyle i}$ может получить, войдя в какую-либо частичную коалицию ${\displaystyle S}$ без кооперации с игроком ${\displaystyle j}$, в предположении, что остальные игроки в составе коалиции ${\displaystyle S}$ удовлетворены выигрышами, которые доставляет им распределение ${\displaystyle x}$. Он представляет собой способ измерения сравнительной переговорной силы игроков. K-ядром кооперативной игры ${\displaystyle \nu }$ называется множество дележей ${\displaystyle x}$, удовлетворяющих условиям:

${\displaystyle (s_{ij}^{\nu }(x)-s_{ji}^{\nu }(x))(x_{j}-\nu (j))\leq 0}$;

${\displaystyle (s_{ji}^{\nu }(x)-s_{ij}^{\nu }(x))(x_{i}-\nu (i))\leq 0}$;

для всех пар игроков ${\displaystyle i,j}$.

Интуитивно, игрок ${\displaystyle i}$ имеет большую переговорную силу, чем игрок ${\displaystyle j}$ при дележе ${\displaystyle x}$, если ${\displaystyle s_{ij}^{\nu }(x)>s_{ji}^{\nu }(x)}$, но игрок ${\displaystyle j}$ защищен от угроз игрока ${\displaystyle i}$, если ${\displaystyle x_{j}=\nu (j)}$, так как в этом случае он может получить выигрыш ${\displaystyle x_{j}}$ без кооперации. K-ядро содержит все дележи, при которых ни один игрок не имеет такой переговорной силы ни над каким другим игроком.

• Davis, M., Maschler, M. The kernel of a cooperative game // Naval Research Logistics Quarterly. — 1965. — Vol.12. — P. 223–259.

• Кооперативная игра (математика)
• С-ядро
• N-ядро