K-распределение

K-распределение — в теории вероятности и статистике семейство трёхпараметрических непрерывных вероятностных распределений. Возникает при суперпозиции двух гамма-распределений. В каждом случае производится репараметризация гамма-распределения, и параметрами распределения являются:

• среднее значение распределения;
• обычные параметры формы.

Модель заключается в том, что случайная величина ${\displaystyle X}$ имеет гамма-распределение со средним значением ${\displaystyle \sigma }$ и параметром формы ${\displaystyle L}$, причём величина ${\displaystyle \sigma }$ в свою очередь имеет гамма-распределение со средним значением ${\displaystyle \mu }$ и параметром формы ${\displaystyle \nu }$. В результате величина ${\displaystyle X}$ имеет следующую функцию плотности вероятности для ${\displaystyle x>0}$:^[1]

${\displaystyle f_{X}(x;\mu ,\nu ,L)={\frac {2\,\xi ^{(\beta +1)/2}x^{(\beta -1)/2}}{\Gamma (L)\Gamma (\nu )}}K_{\alpha }(2{\sqrt {\xi x}}),}$

где ${\displaystyle \alpha =\nu -L,}$ ${\displaystyle \beta =L+\nu -1,}$ ${\displaystyle \xi =L\nu /\mu ,}$ а ${\displaystyle K}$ представляет собой модифицированную функцию Бесселя второго рода. Таким образом, K-распределение является составным распределением вероятности. Оно также является мультипликативным распределением, так как представляет собой распределение произведения двух независимых случайных величин, одно из которых имеет гамма-распределение со средним ${\displaystyle \sigma }$ и параметром формы ${\displaystyle L}$, вторая — гамма-распределение со средним ${\displaystyle \mu }$ и параметром формы ${\displaystyle \nu }$.

Распределение предложено в 1978 году статье Эрика Джекмана и Питера Пьюси^[2], которые использовали его при моделировании отражения СВЧ-излучения от морской поверхности. Джекман и Тоу в 1987 году^[3] получили это распределение из смещённой модели случайного блуждания. Уорд (1981)^[4] получил K-распределение как распределение произведения  двух случайных величин, z = ay, где а имеет хи-распределение, а y — комплексное гауссово распределение, в результате чего модуль величины z имеет K-распределение.

Производящая функция моментов определяется как^[5]

${\displaystyle M_{X}(s)=\left({\frac {\xi }{s}}\right)^{\beta /2}\exp \left({\frac {\xi }{2s}}\right)W_{-\beta /2,\alpha /2}\left({\frac {\xi }{s}}\right),}$

где ${\displaystyle W_{-\beta /2,\alpha /2}(\cdot )}$ — функция Уиттекера.

N-й момент K-распределения определяется как^[1]

${\displaystyle \mu _{n}=\xi ^{-n}{\frac {\Gamma (L+n)\Gamma (\nu +n)}{\Gamma (L)\Gamma (\nu )}}.}$

Поэтому математическое ожидание и дисперсия равны^[1]

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\mu ;}$

${\displaystyle \operatorname {var} (X)=\mu ^{2}{\frac {\nu +L+1}{L\nu }}.}$

Все свойства распределения симметричны относительно ${\displaystyle L}$ и ${\displaystyle \nu .}$^[1]

K-распределение возникает в статистических или вероятностных моделях, используемых при моделировании радиолокаторов с синтезированной апертурой (РСА). Оно является суперпозицией два независимых вероятностных распределений, одно из которых представляет собой эффективную площадь рассеяния, а другая — спекл (дифракционное пятно, полученная в когерентном свете). Также используется в беспроводной связи в модели быстрых замираний и экранирования сигнала.

• Jakeman, E. (1980) "On the statistics of K-distributed noise", Journal of Physics A: Mathematics and General, 13, 31—48.
• Ward, K. D.; Tough, Robert J. A; Watts, Simon (2006) Sea Clutter: Scattering, the K Distribution and Radar Performance, Institution of Engineering and Technology. ISBN 0-86341-503-20-86341-503-2.