P-группа

Перейти к навигации Перейти к поиску

p-группа — группа, в которой порядок каждого элемента является степенью простого числа p.

Примеры

Циклическая группа порядка $p^{n}$ $p^{n}$ и прямые произведения таких групп.
- Каждая коммутативная p-группа изоморфна одному из этих примеров.
Группа Гейзенберга по модулю $p$ — простейший пример некоммутативной p-группы.
Группа Григорчука — пример бесконечной 2-группы.
Силовские p-группы (см. Теоремы Силова)

Свойства

Центр $Z(P)$ $Z(P)$ нетривиальной конечной p-группы $P$ $P$ является нетривиальной группой.
- В частности, все p-группы нильпотентны.
- Более того, если $H$ $H$ нормальная подгруппа в p-группе $P$ $P$ , то $|H\cap Z(P)|>1$ $|H\cap Z(P)|>1$ .
  - Данное свойство получается из теоремы о центре, если учесть, что любая подгруппа p-группы сама является p-группой и что нормальная подгруппа инвариантна к сопряжениям.
Если группа конечна, то ее порядок тогда тоже равен некоторой степени числа p (это следует из первой теоремы Силова).
- Более того любая группа порядка $p^{n}$ является p-группой (следует из теоремы Лежандра).
При $n\rightarrow \infty$ число неизоморфных групп порядка $p^{n}$ асимптотически равно
$p^{{\frac {2}{27}}\cdot n^{3}+O(n)}$ .

См. также

Задача Бёрнсайда

Литература

Курош А. Г. Теория групп. — 3-е изд. — М.: Наука, 1967. — 648 с. — ISBN 5-8114-0616-9.(рус.)
Холл М. Теория групп. — М.: Издательство иностранной литературы, 1962.
Gorenstein D. Finite groups — N. Y.: Harper and Row, 1968.

Похожие исследовательские статьи

А́белева гру́ппа — группа, в которой групповая операция является коммутативной; иначе говоря, группа $\text{[math]}$ абелева, если $\text{[math]}$ для любых двух элементов $\text{[math]}$ .

В этой статье приведены основные термины, используемые в теории групп. Курсив обозначает внутреннюю ссылку на данный глоссарий. В конце приводится таблица основных обозначений, применяемых в теории групп.

Простая группа — группа, не имеющая нормальных подгрупп, отличных от всей группы и единичной подгруппы.

Симметрическая группа — группа всех перестановок заданного множества $\text{[math]}$ относительно операции композиции.

Гру́ппа — множество, на котором определена ассоциативная бинарная операция, причём для этой операции имеется нейтральный элемент, и каждый элемент множества имеет обратный. Раздел общей алгебры, занимающийся группами, называется теорией групп.

Циклическая группа — группа $\text{[math]}$ , которая может быть порождена одним элементом a, то есть все её элементы являются степенями a. Математическое обозначение: $\text{[math]}$ .

Теорема Лагра́нжа в теории групп гласит, что порядок конечной группы $\text{[math]}$ равен порядку любой подгруппы $\text{[math]}$ , умноженному на её индекс, то есть что верно равенство $\text{[math]}$ .

Порядок группы — мощность носителя группы, то есть, для конечных групп — количество элементов группы. Обозначается $\text{[math]}$ или $\text{[math]}$ .

Теорема Коши в теории групп гласит:

Разрешимая группа — группа, ряд коммутантов которой заканчивается на тривиальной группе.

В теории групп теоремы Си́лова представляют собой неполный вариант обратной теоремы к теореме Лагранжа и для некоторых делителей порядка группы G гарантируют существование подгрупп такого порядка. Теоремы доказаны норвежским математиком Петером-Людвигом Силовом в 1872 г.

<span class="mw-page-title-main">Конечная группа</span> алгебраическая структура - группа, содержащая конечное число элементов

Конечная группа в общей алгебре — группа, содержащая конечное число элементов. Далее группа предполагается мультипликативной, то есть операция в ней обозначается как умножение; аддитивные группы с операцией сложения оговариваются особо. Единицу мультипликативной группы будем обозначать символом 1. Порядок группы $\text{[math]}$ принято обозначать $\text{[math]}$

Класс сопряжённости — множество элементов группы $\text{[math]}$ , образованное из элементов, сопряжённых заданному $\text{[math]}$ , то есть — всех элементов вида $\text{[math]}$ , где $\text{[math]}$ — произвольный элемент группы $\text{[math]}$ .

Теорема Бёрнсайда — классическая теорема теории конечных групп.

Порядок элемента в теории групп — наименьшее положительное целое $\text{[math]}$ , такое что $\text{[math]}$ -кратное групповое умножение данного элемента $\text{[math]}$ на себя даёт нейтральный элемент:

\text{[math]}

Периодическая группа — группа, каждый элемент которой имеет конечный порядок. Все конечные группы периодичны. Понятие периодической группы не следует путать с понятием циклической группы.

Теорема Фейта — Томпсона или теорема о нечётном порядке утверждает, что любая конечная группа нечётного порядка разрешима. Теорему доказали Вальтер Фейт и Джон Григгс Томпсон.

Теорема Шура — Зассенхауса — это теорема теории групп, которая утверждает, что если G является конечной группой, а N является нормальной подгруппой, порядок которой взаимно прост с порядком факторгруппы G/N, то G является полупрямым произведением подгруппы N и факторгруппы G/N.

Упорядоченная группа — группа, для всех элементов которой определён линейный порядок, согласованный с групповой операцией. Вообще говоря, группа может быть не коммутативной.

Группа Фробениуса, или фробениусова группа — транзитивная группа перестановок на конечном множестве, такая, что каждый нетривиальный элемент фиксирует не более одной точки, и некоторый нетривиальный элемент фиксирует точку.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.