-разложение матрицы — представление матрицы в виде произведения унитарной (или ортогональной матрицы) и верхнетреугольной матрицы. QR-разложение является основой одного из методов поиска собственных векторов и чисел матрицы — QR-алгоритма[1].
Определение
Матрица
размера
, где
, с комплексными элементами может быть представлена в виде

где
— матрица размера
с ортонормированными столбцами, а
— верхнетреугольная матрица размера
. При
матрица
унитарная. Если при этом
невырождена, то
-разложение единственно и матрица
может быть выбрана так, чтобы её диагональные элементы были положительными вещественными числами. В частном случае, когда матрица
состоит из вещественных чисел, матрицы
и
также могут быть выбраны вещественными, причём
является ортогональной[2].
По аналогии, если
— матрица размера
, где
, то она может быть разложена как

где матрица
порядка
— нижнетреугольная, а матрица
размера
имеет ортонормированные строки[1].
Алгоритмы
-разложение может быть получено различными методами. Проще всего оно может быть вычислено, как побочный продукт в процессе Грама — Шмидта[2]. На практике следует использовать модифицированный алгоритм Грама ― Шмидта, поскольку классический алгоритм обладает плохой численной устойчивостью[3].
Альтернативные алгоритмы для вычисления
-разложения основаны на отражениях Хаусхолдера и вращениях Гивенса[4].
Пример QR-разложения
Рассмотрим матрицу:

Через
обозначим векторы-столбцы заданной матрицы
Получаем следующий набор векторов:

Далее, применяем алгоритм ортогонализации Грама — Шмидта и нормируем полученные вектора, получаем следующий набор:

Из полученных векторов
составляем по столбцам матрицу Q из разложения:
Полученная матрица является ортогональной, это означает, что 
Найдем матрицу
из выражения
:
— искомая верхнетреугольная матрица.
Получили разложение
.
Примечания
- ↑ 1 2 Horn, Johnson, 1990, p. 114.
- ↑ 1 2 Horn, Johnson, 1990, p. 112.
- ↑ Horn, Johnson, 1990, p. 116.
- ↑ Horn, Johnson, 1990, p. 117.
Литература
 Векторы и матрицы |
---|
Векторы | Основные понятия | |
---|
Виды векторов | |
---|
Операции над векторами | |
---|
Типы пространств | |
---|
|
---|
Матрицы | |
---|
Другое | |
---|