SO(8) — Википедия

SO(8)

Перейти к навигации Перейти к поиску

SO(8) — специальная ортогональная группа восьмимерного евклидова пространства.

Свойства

SO(8) — вещественная простая группа Ли ранга 4 и размерности 28.
SO(8), как и все специальные ортогональные группы при $n>2$ $n>2$ , неодносвязна, и её фундаментальная группа изоморфна Z₂.
- универсальное накрытие SO(8) — спинорная группа Spin(8).
центр SO(8) изоморфен Z₂, он включает две матрицы {±I} (как и для SO(n) при 2n > 2).
- Центр Spin(8) изоморфен Z₂×Z₂ (как и для всех Spin(4n), 4n > 0).

SO(8) занимает особое место среди простых групп Ли, поскольку её диаграмма Дынкина (смотри рисунок) (D₄) имеет трёхкратные симметрии. В этом причина особенного свойства Spin(8), известного как тройственность. С этим связаны, например, такие факты:
- Два спинорных представления, а также фундаментальное векторное представление Spin(8) — восьмимерные (для всех других Spin-групп спинорные представления имеет размерность либо большую, либо меньшую, чем векторное).
- Тройственный автоморфизм Spin(8) — группа внешних автоморфизмов Spin(8) изоморфна симметрической группы S₃, она переставляет эти три представления.
- Группа автоморфизмов действует на центре Z₂ х Z₂ (который также имеет группу автоморфизмов, изоморфную S₃, которые могут также рассматриваться как общая линейная группа над конечным полем из двух элементов, S₃ ≅GL(2,2)).
Группа Вейля SO(8) имеет 4!×8=192 элементов.
Система корней SO(8):
$(\pm 1,0,0,\pm 1)$
$(0,\pm 1,\pm 1,0)$
$(0,\pm 1,0,\pm 1)$
$(0,0,\pm 1,\pm 1)$
$(0,\pm 1,0,\pm 1)$
$(0,0,\pm 1,\pm 1)$

Матрица Картана SO(8):
${\begin{pmatrix}2&-1&-1&-1\\-1&2&0&0\\-1&0&2&0\\-1&0&0&2\end{pmatrix}}$

Вариации и обобщения

Иногда Spin(8) появляется естественно в «расширенном» виде, в качестве группы автоморфизмов Spin(8), которая представляется как полупрямое произведение: Aut((Spin(8)) ≅ Spin(8) ⋊ S₃.

См. также

Ссылки

Adams, J.F. (1996), Lectures on exceptional Lie groups, Chicago Lectures in Mathematics, University of Chicago Press, ISBN 0-226-00526-7
Chevalley, Claude (1997), The algebraic theory of spinors and Clifford algebras, Collected works, vol. 2, Springer-Verlag, ISBN 3-540-57063-2 (originally published in 1954 by Columbia University Press)
Porteous, Ian R. (1995), Clifford algebras and the classical groups, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 50, Cambridge University Press, ISBN 0-521-55177-3 {{citation}}: Указан более чем один параметр |ISBN= and |isbn= ()

Похожие исследовательские статьи

Спинорная группа — подмножество элементов алгебры Клиффорда над $\text{[math]}$ , состоящее из элементов вида $\text{[math]}$ , где $\text{[math]}$ — единичные векторы. Операцией в спинорной группе является умножение в алгебре Клиффорда.

Изоморфизм групп — взаимно-однозначное соответствие между элементами двух групп, сохраняющее групповые операции. Если существует изоморфизм между двумя группами, группы называются изоморфными. С точки зрения теории групп изоморфные группы имеют одни и те же свойства и их можно не различать.

Ортогональная группа — группа всех линейных преобразований $\text{[math]}$ -мерного векторного пространства $\text{[math]}$ над полем $\text{[math]}$ , сохраняющих фиксированную невырожденную квадратичную форму $\text{[math]}$ на $\text{[math]}$ .

Проективное представление группы $\text{[math]}$ на векторном пространстве $\text{[math]}$ над полем $\text{[math]}$ — это гомоморфизм $\text{[math]}$ в проективную группу

\text{[math]}

Спино́р — специальное обобщение понятия вектора, применяемое для лучшего описания группы вращений евклидова или псевдоевклидова пространства.

Диаграмма Дынкина — вид графов, в которых некоторые рёбра удвоены или утроены. Кратные рёбра, с некоторыми ограничениями, являются ориентированными. Названы по имени советского математика Евгения Дынкина, впервые применившего их в 1946 году.

G₂ в математике — название трёх простых групп Ли (комплексной, вещественной компактной и вещественной разделённой), связанной с ними алгебры Ли $\text{[math]}$ , а также нескольких алгебраических групп. Являются наименьшими из пяти исключительных простых групп Ли, рангом 2 и размерностью 14, с точными нетривиальными конечномерными линейными представлениями. Всего G₂ имеет два фундаментальных представления размерностью 7 и 14, первое из которых отвечает короткому корню системы корней G₂.

В математике F₄ — название одной из пяти (компактных или комплексных) особых простых групп Ли, а также её алгебры Ли $\text{[math]}$ . F₄ имеет ранг 4 и размерность 52. Группа F₄ односвязна, а её группа внешних автоморфизмов тривиальна. Простейшее точное линейное представление группы F₄, а также её алгебры Ли, 26-мерно и неприводимо.

<span class="mw-page-title-main">Диэдральная группа</span>

Диэдральная группа — группа симметрии правильного многоугольника, включающая как вращения, так и осевые симметрии. Диэдральные группы являются простейшими примерами конечных групп и играют важную роль в теории групп, геометрии и химии. Хорошо известно и совершенно тривиально проверяется, что группа, образованная двумя инволюциями с конечным числом элементов в области определения является диэдральной группой.

Бикватернионы — комплексификация (расширение) обычных (вещественных) кватернионов.

SL(2,R) или SL₂(R) — это группа вещественных матриц 2 × 2 с единичным определителем:

\text{[math]}

Группа симметрии некоторого объекта ― группа всех преобразований, для которых данный объект является инвариантом, с композицией в качестве групповой операции. Как правило, рассматриваются множества точек n-мерного евклидова пространства и движения этого пространства, но понятие группы симметрии сохраняет свой смысл и в более общих случаях.

В математике бинарная группа тетраэдра — это некоторая неабелева группа 24-го порядка. Группа является расширением тетраэдральной группы T 12-го порядка циклической группы 2-го порядка и является прообразом группы тетраэдра для 2:1 накрывающего гомоморфизма $\text{[math]}$ специальной ортогональной группы спинорной группой. Отсюда следует, что бинарная группа тетраэдра — дискретная подгруппа группы Spin(3) 24-го порядка.

<span class="mw-page-title-main">Группа кватернионов</span>

В теории групп группа кватернионов — это неабелева группа восьмого порядка, изоморфная набору из восьми кватернионов с операцией умножения. Она часто обозначается буквой Q или Q₈, и определяется заданием группы

\text{[math]}

Бинарная группа икосаэдра 2I или <2,3,5> — это неабелева группа порядка 120. Группа является расширением группы икосаэдра I или (2,3,5) порядка 60 циклической группой порядка 2 и является прообразом группы икосаэдра при 2:1 накрывающем гомоморфизме

\text{[math]}

В математике проективная специальная линейная группа PSL(2, 7) — это конечная простая группа, имеющая важные приложения в алгебре, геометрии и теории чисел. Она является группой автоморфизмов квартики Клейна, а также группой симметрии плоскости Фано. Имея 168 элементов, PSL(2, 7) является второй по величине из самых маленьких неабелевых простых групп.

Группы Конвея — это три введённые Конвеем спорадические простые группы Co₁, Co₂ и Co₃ вместе со связанной с ними конечной группой Co₀.

<span class="mw-page-title-main">SO(10)</span>

SO(10) — разновидность теории Великого объединения, основанная на спинорной группе Spin(10). Сокращенное название SO(10) является общепринятым среди физиков и происходит от группы Ли SO(10), которая является специальной ортогональной группой, дважды покрытой Spin(10).

Физика элементарных частиц и теория представлений — физика элементарных частиц при построении своих математических моделей в качестве важной составной части математического аппарата использует теорию представлений. Она связывает математическое описание свойств элементарных частиц со структурой групп Ли и алгебр Ли.

В дифференциальной геометрии, спинорное расслоение — локально тривиальное расслоение специального вида над (псевдо)римановым многообразием. Сечение спинорного расслоения, называемое спинорным полем, моделирует в физике фермионное поле в произвольном пространстве.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.