t-структура

t-структура — понятие, аксиоматизирующее свойства абелевых подкатегорий производной категории. t-структура на триангулированной категории ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ состоит из двух подкатегорий ${\displaystyle ({\mathcal {D}}^{\leq 0},{\mathcal {D}}^{\geq 0})}$ в ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$, обобщающих свойства комплексов с зануляющимися когомологиями в положительных, соответственно, в отрицательных степенях. На одной и той же категории могут существовать различные t-структуры, и взаимосвязи между этими структурами используются в алгебре и геометрии. Понятие t-структуры возникло в работах Бейлинсона, Бернштейна, Делиня и Габбера по превратным пучкам^[англ.].^[1]

Пусть ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ — триангулированная категория с функтором сдвига ${\displaystyle [1]}$. t-структура на ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ — это пара полных подкатегорий ${\displaystyle ({\mathcal {D}}^{\leq 0},{\mathcal {D}}^{\geq 0})}$, замкнутых относительно изоморфизма объектов, которые удовлетворяют следующим трём аксиомам.

1. Если X — объект ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq 0}}$, а Y — объект ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq 0}}$, то ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathcal {D}}(X,Y[-1])=0.}$
2. Если X — объект ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq 0}}$, то X[1] — также объект ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq 0}}$. Аналогично, если Y — объект ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq 0}}$, то Y[-1] — также объект ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq 0}}$.
3. Если A — объект ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$, то существует выделенный треугольник ${\displaystyle X\to A\to Y[-1]\to X[1]}$, в котором X — объект ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq 0}}$, а Y — объект ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq 0}}$.

Можно показать, что подкатегории ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq 0}}$ и ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq 0}}$ замкнуты относительно расширений в ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$. В частности, они замкнуты относительно конечных прямых сумм.

Предположим, что ${\displaystyle ({\mathcal {D}}^{\leq 0},{\mathcal {D}}^{\geq 0})}$ — t-структура на ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$. В этом случае, для любого целого n определим ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq n}}$ как полную подкатегорию ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$, объекты которой имеют вид ${\displaystyle X[-n]}$, где ${\displaystyle X}$ — объект категории ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq 0}}$. Аналогично, ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq n}}$ определяется как полная подкатегория объектов вида ${\displaystyle Y[-n]}$, где ${\displaystyle Y}$ — объект ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq 0}}$. Более кратко это записывается так:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {D}}^{\leq n}&={\mathcal {D}}^{\leq 0}[-n],\\{\mathcal {D}}^{\geq n}&={\mathcal {D}}^{\geq 0}[-n].\end{aligned}}}$

С учётом этих обозначений, аксиомы могут быть переписаны следующим образом:

1. Если X — объект ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq 0}}$, а Y — объект ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq 1}}$, то ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathcal {D}}(X,Y)=0.}$
2. ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq 0}\subseteq {\mathcal {D}}^{\leq 1}}$ и ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq 0}\supseteq {\mathcal {D}}^{\geq 1}}$.
3. Если A — объект ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$, то существует выделенный треугольник ${\displaystyle X\to A\to Y\to X[1]}$, в котором X — объект ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq 0}}$, а Y — объект ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq 1}}$.

Ядром или сердцевиной t-структуры называется полная подкатегория ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\heartsuit }}$, состоящая из объектов, которые содержатся одновременно в ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq 0}}$ и в ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq 0}}$, то есть

${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\heartsuit }={\mathcal {D}}^{\leq 0}\cap {\mathcal {D}}^{\geq 0}.}$

Сердцевина t-структуры является абелевой категорией (тогда как триангулированная категория аддитивна, но почти никогда не абелева), и замкнута относительно расширений.

Триангулированную категорию с выбранной t-структурой иногда называют t-категорией.

Для задания t-структуры достаточно, для некоторых целых чисел m и n задать ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq m}}$ и ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq n}}$. Некоторые авторы определяют t-структуру как пару ${\displaystyle ({\mathcal {D}}^{\leq 0},{\mathcal {D}}^{\geq 1})}$.

Две подкатегории ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq 0}}$ и ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq 1}}$ однозначно определяют одна другую. Объект X принадлежит ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq 0}}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \operatorname {Hom} (X,Y)=0}$ для всех объектов Y из ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq 1}}$, и наоборот. Таким образом, ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq 0}}$ и ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq 1}}$ являются левым и правым ортогональными дополнениями друг для друга. Следовательно, достаточно задать одну из подкатегорий ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq 0}}$ или ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq 1}}$.

Если для любого объекта X категории ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ существуют такие целые m и n, что ${\displaystyle X\in {\mathcal {D}}^{\geq m}}$ и ${\displaystyle X\in {\mathcal {D}}^{\leq n}}$, то t-структура называется ограниченной.^[2]

Наиболее базовым примером t-структуры является естественная t-структура на производной категории. Пусть ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ — абелева категория, и ${\displaystyle D({\mathcal {A}})}$ — её производная категория. Тогда естественная t-структура задаётся парой подкатегорий

${\displaystyle {\begin{aligned}D({\mathcal {A}})^{\leq 0}&=\{X\colon \forall i>0,\ H^{i}(X)=0\},\\D({\mathcal {A}})^{\geq 0}&=\{X\colon \forall i<0,\ H^{i}(X)=0\}.\end{aligned}}}$

Из определения немедленно следует, что

${\displaystyle {\begin{aligned}D({\mathcal {A}})^{\leq n}&=\{X\colon \forall i>n,\ H^{i}(X)=0\},\\D({\mathcal {A}})^{\geq n}&=\{X\colon \forall i<n,\ H^{i}(X)=0\},\\D({\mathcal {A}})^{\heartsuit }&=\{X\colon \forall i\neq 0,\ H^{i}(X)=0\}\cong {\mathcal {A}}.\end{aligned}}}$

В этом случае третья аксиома t-структуры, утверждающая существование определённых выделенных треугольников, может быть доказана следующим образом. Предположим, что ${\displaystyle A^{\bullet }}$ — коцепной комплекс с членами из ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$. Определим

${\displaystyle {\begin{aligned}\tau ^{\leq 0}A^{\bullet }&=(\cdots \to A^{-2}\to A^{-1}\to \ker d^{0}\to 0\to 0\to \cdots ),\\\tau ^{\geq 1}A^{\bullet }&=(\cdots \to 0\to 0\to A^{0}/\ker d^{0}\to A^{1}\to A^{2}\to \cdots ).\end{aligned}}}$

Нетрудно видеть, что ${\displaystyle \tau ^{\geq 1}A^{\bullet }=A^{\bullet }/\tau ^{\leq 0}A^{\bullet }}$ и существует короткая точная последовательность комплексов

${\displaystyle 0\to \tau ^{\leq 0}A^{\bullet }\to A^{\bullet }\to \tau ^{\geq 1}A^{\bullet }\to 0.}$

Эта точная последовательность индуцирует требуемый выделенный треугольник.

Существуют также аналогичные t-структуры для ограниченных, ограниченных сверху и ограниченных снизу производных категорий.

Пусть ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ — сердцевина ограниченной t-структуры на триангулированной категории ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$. Пара подкатегорий ${\displaystyle ({\mathcal {T}},{\mathcal {F}})}$ категории ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ называется парой кручения, если выполняются следующие условия:

1. Для любых ${\displaystyle T\in {\mathcal {T}},F\in {\mathcal {F}}}$ имеем ${\displaystyle \mathrm {Hom} (T,F)=0}$.
2. Для любого ${\displaystyle E\in {\mathcal {A}}}$ существует точная последовательность ${\displaystyle 0\to T\to E\to F\to 0}$ в категории ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, где ${\displaystyle T\in {\mathcal {T}},F\in {\mathcal {F}}}$.

Для любой пары кручения ${\displaystyle ({\mathcal {T}},{\mathcal {F}})}$ можно определить «тилт» ${\displaystyle {\mathcal {A}}'}$ как наименьшую подкатегорию в ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$, содержащую ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ и ${\displaystyle {\mathcal {F}}[1]}$ и замкнутую относительно расширений. Категория ${\displaystyle {\mathcal {A}}'}$ также является сердцевиной ограниченной t-структуры на ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$. Такие t-структуры используются при построении условий стабильности по Бриджленду^[англ.].^[3]

В приведённом выше примере естественной t-структуры на производной категории выделенные треугольники, существование которых утверждается третьей аксиомой, строились при помощи операции «обрезания». Операции обрезания ${\displaystyle \tau _{\leq 0}A^{\bullet }}$ и ${\displaystyle \tau _{\geq 1}A^{\bullet }}$ функториальны как операции на категории комплексов, и получающаяся короткая точная последовательность комплексов функториальна по ${\displaystyle A^{\bullet }}$. Используя это, можно показать, что корректно определены срезающие функторы на производной категории, и что они индуцируют естественный выделенный треугольник.

На самом деле, это — пример общего явления. Хотя в определении t-структуры не говорится о существовании срезающих функторов, такие функторы всегда могут быть построены, и, по существу, определены однозначно. Предположим, что ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ — триангулированная категория с t-структурой ${\displaystyle ({\mathcal {D}}^{\leq 0},{\mathcal {D}}^{\geq 0})}$. Точное утверждение заключается в том, что функторы вложения

${\displaystyle {\begin{aligned}\iota ^{\leq n}\colon &{\mathcal {D}}^{\leq n}\to {\mathcal {D}},\\\iota ^{\geq n}\colon &{\mathcal {D}}^{\geq n}\to {\mathcal {D}}\end{aligned}}}$

имеют сопряжённые. Это функторы

${\displaystyle {\begin{aligned}\tau ^{\leq n}\colon &{\mathcal {D}}\to {\mathcal {D}}^{\leq n},\\\tau ^{\geq n}\colon &{\mathcal {D}}\to {\mathcal {D}}^{\geq n},\end{aligned}}}$

такие, что

${\displaystyle {\begin{aligned}\iota ^{\leq n}\dashv \tau ^{\leq n},\\\tau ^{\geq n}\dashv \iota ^{\geq n}.\end{aligned}}}$

Более того, для любого объекта ${\displaystyle A}$ категории ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ существует однозначно определённый морфизм

${\displaystyle d\in \operatorname {Hom} ^{1}(\tau ^{\geq 1}A,\tau ^{\leq 0}A),}$

который, вместе с единицей и коединицей сопряжения, индуцирует выделенный треугольник

${\displaystyle \tau ^{\leq 0}A\to A\to \tau ^{\geq 1}A\ {\stackrel {d}{\to }}\ \tau ^{\leq 0}A[1].}$

С точностью до единственного изоморфизма, существует единственный выделенный треугольник вида ${\displaystyle X\to A\to Y\to X[1]}$, в котором ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ являются объектами ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq 0}}$ и ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq 1}}$, соответственно. Из существования такого треугольника следует, что объект ${\displaystyle A}$ принадлежит ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq n}}$ (соответственно, ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq n}}$), если и только если ${\displaystyle \tau ^{\geq n+1}(A)=0}$ (соответственно, ${\displaystyle \tau ^{\leq n-1}(A)=0}$).

Из существования ${\displaystyle \tau ^{\leq 0}}$ следует существование остальных срезающих функторов, при помощи сдвигов и перехода к противоположной категории. Если ${\displaystyle A}$ — объект ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$, третья аксиома из определения t-структуры утверждает существование объекта ${\displaystyle X}$ из ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq 0}}$ и морфизма ${\displaystyle X\to A}$, включающегося в определённый выделенный треугольник. Для произвольного ${\displaystyle A}$ выберем один такой треугольник и положим ${\displaystyle \tau ^{\leq 0}(A)=X}$. Из аксиом t-структуры следует, что для любого объекта ${\displaystyle T}$ из ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq 0}}$ мы имеем

${\displaystyle \operatorname {Hom} (T,X)\cong \operatorname {Hom} (T,A),}$

и изоморфизм индуцируется морфизмом ${\displaystyle X\to A}$. Это показывает, что ${\displaystyle X}$ является решением задачи об универсальном отображении. Из стандартных утверждений о производных функторах следует, что объект ${\displaystyle X}$ определён однозначно с точностью до единственного изоморфизма, и что существует единственный способ определить действие ${\displaystyle \tau ^{\leq 0}}$ на морфизмах, который делает его правым сопряжённым функтором. Это доказывает существование ${\displaystyle \tau ^{\leq 0}}$, и, следовательно, существование всех срезающих функторов.

Повторное применение операций обрезания для t-структур имеет свойства, аналогичные операциям обрезания для комплексов. Если ${\displaystyle n\leq m}$, то существуют естественные преобразования

${\displaystyle {\begin{aligned}\tau ^{\leq n}&\to \tau ^{\leq m},\\\tau ^{\geq n}&\to \tau ^{\geq m},\end{aligned}}}$

которые индуцируют естественные эквивалентности

${\displaystyle {\begin{aligned}\tau ^{\leq n}\ &{\stackrel {\sim }{\to }}\ \tau ^{\leq n}\circ \tau ^{\leq m},\\\tau ^{\geq m}\ &{\stackrel {\sim }{\to }}\ \tau ^{\geq m}\circ \tau ^{\geq n},\\\tau ^{\geq n}\circ \tau ^{\leq m}\ &{\stackrel {\sim }{\to }}\ \tau ^{\leq m}\circ \tau ^{\geq n}.\end{aligned}}}$

Функтор n-х когомологий ${\displaystyle H^{n}}$ определяется по формуле

${\displaystyle H^{n}=\tau ^{\leq 0}\circ \tau ^{\geq 0}\circ [n].}$

В соответствии с названием, он действительно является когомологическим функтором на триангулированной категории. А именно, для любого выделенного треугольника ${\displaystyle X\to Y\to Z\to X[1]}$ мы получаем длинную точную последовательность

${\displaystyle \cdots \to H^{i}(X)\to H^{i}(Y)\to H^{i}(Z)\to H^{i+1}(X)\to \cdots .}$

В приложениях из алгебраической топологии функторы когомологий могут обозначаться как ${\displaystyle \pi _{n}}$ вместо ${\displaystyle H^{n}}$. Функторы когомологий принимают значения в сердцевине ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\heartsuit }}$. По одному из приведённых выше тождеств, с точностью до естественной эквивалентности можно положить

${\displaystyle H^{n}=\tau ^{\geq 0}\circ \tau ^{\leq 0}\circ [n].}$

Для естественной t-структуры на производной категории ${\displaystyle D({\mathcal {A}})}$ функтор когомологий ${\displaystyle H^{n}}$, как принимающий значения в ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, сопоставляет комплексу его обычные n-е когомологии.

t-структура называется невырожденной, если пересечение всех ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq n}}$, а также пересечение всех ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq n}}$, состоит только из нулевых объектов. Для невырожденной t-структуры набор функторов ${\displaystyle \{H^{n}\}_{n\in \mathbf {Z} }}$ является консервативным (то есть морфизм ${\displaystyle f:X\to Y}$ в ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ является изоморфизмом, если все ${\displaystyle H^{n}(f)}$ — изоморфизмы). Более того, в этом случае ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq n}}$ (соответственно, ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq n}}$) можно отождествить с полной подкатегорией тех объектов ${\displaystyle A}$, для которых ${\displaystyle H^{i}(A)=0}$ при ${\displaystyle i>n}$ (соответственно, ${\displaystyle i<n}$).

• Гельфанд С. И., Манин Ю. И. Методы гомологической алгебры. — М.: Наука, 1988. — Т. 1. Введение в теорию когомологий и производные категории. — 416 с. — ISBN 5-02-014414-2.