Z-преобразованием (преобразованием Лорана) называют свёртывание исходного сигнала, заданного последовательностью вещественных чисел во временно́й области, в аналитическую функцию комплексной частоты. Если сигнал представляет импульсную характеристику линейной системы, то коэффициенты Z-преобразования показывают отклик системы на комплексные экспоненты , то есть на гармонические осцилляции с различными частотами и скоростями нарастания/затухания.
Определение
Z-преобразование, как и многие интегральные преобразования, может быть задано как одностороннее и двустороннее.
Двустороннее Z-преобразование
Двустороннее Z-преобразование дискретного временного сигнала задаётся как:
где — целое, — комплексное число.
где — амплитуда, а — угловая частота (в радианах на отсчёт)
Одностороннее Z-преобразование
В случаях, когда определена только для , одностороннее Z-преобразование задаётся как:
Обратное Z-преобразование
Обратное Z-преобразование определяется, например, так:
где — контур, охватывающий область сходимости . Контур должен содержать все вычеты .
Положив в предыдущей формуле , получим эквивалентное определение:
Область сходимости
Область сходимости представляет собой некоторое множество точек на комплексной плоскости, в которых существует конечный предел ряда:
Пример 1 (без области сходимости)
Пусть . Раскрывая на интервале , получаем
Смотрим на сумму:
Поэтому, не существует таких значений , которые бы удовлетворяли условию сходимости.
Связь с преобразованием Лапласа
Билинейное преобразование может быть использовано для преобразования непрерывного времени, например, при аналитическом описании линейных фильтров, представленных преобразованием Лапласа, в дискретное время выборок с периодом представленное в z-области и обратно. При таком преобразовании используется замена переменной:
Обратный переход от z-преобразования к преобразованию Лапласа производится аналогичной заменой переменной:
Билинейное преобразование отображает комплексную s-плоскость преобразования Лапласа на комплексную z-плоскость z-преобразования. Это отображение нелинейное и характерно тем, что отображает ось s-плоскости на единичную окружность в z-плоскости.
Таким образом, преобразование Фурье, которое является преобразованием Лапласа для переменной , переходит в преобразование Фурье с дискретным временем. При этом предполагается, что преобразование Фурье существует, то есть ось находится в области сходимости преобразования Лапласа.
Таблица некоторых Z-преобразований
Обозначения:
- — функция Хевисайда.
- для , и для всех остальных n — дельта-последовательность (не следует путать с дельта-символом Кронекера и дельта-функцией Дирака).
| Сигнал, | Z-преобразование, | Область сходимости |
---|
1 | | | |
2 | | | |
3 | | | |
4 | | | |
5 | | | |
6 | | | |
7 | | | |
8 | | | |
9 | | | |
10 | | | |
11 | | | |
См. также
Ссылки