Z-тест

Z-тест (z-критерий Фишера) — класс методов статистической проверки гипотез (статистических критериев), основанных на нормальном распределении. Обычно применяется для проверки равенства средних значений при известной дисперсии генеральной совокупности или при оценке выборочного среднего стандартизованных значений^[англ.]. Z-статистика вычисляется как отношение разницы между случайной величиной и математическим ожиданием к стандартной ошибке этой случайной величины:

${\displaystyle z={\frac {{\overline {X}}-\,m}{\mathrm {SE} }}}$

где ${\displaystyle {\overline {X}}}$ — случайная величина выборочного среднего, ${\displaystyle m}$ — значение математического ожидания, ${\displaystyle SE}$ — стандартная ошибка этой величины.

Для применения данного критерия необходимо, чтобы исходные данные имели нормальное распределение и была известна дисперсия генеральной совокупности. Z-тест применяется при проверке нулевой гипотезы о том, что математическое ожидание случайной величины равно некоторому значению ${\displaystyle m}$: ${\displaystyle H_{0}:M_{x}=m}$. Исходя из принципа независимости наблюдения, дисперсия выборочного среднего определяется как ${\displaystyle V({\overline {X}})=\sigma ^{2}/n}$. Тогда значение z-статистики вычисляется по формуле

${\displaystyle z_{\overline {X}}={\frac {{\overline {X}}-\,m_{H_{o}}}{\mathrm {\sigma /{\sqrt {n}}} }}}$

где ${\displaystyle \sigma }$ — известная величина стандартного отклонения генеральной совокупности и ${\displaystyle {n}}$ — объём выборки.

При превышении критического значения ${\displaystyle z_{\overline {X}}}$ (например, ${\displaystyle z_{\overline {X}}}$ < −1.96 или ${\displaystyle z_{\overline {X}}}$ > 1.96 при уровне значимости 5 %), нулевая гипотеза отвергается и величина случайного значения считается статистически значимой.

• Hays, W. Statistics. Cengage Learning, 1994.