Z-преобразованием (преобразованием Лорана) называют свёртывание исходного сигнала, заданного последовательностью вещественных чисел во временно́й области, в аналитическую функцию комплексной частоты. Если сигнал представляет импульсную характеристику линейной системы, то коэффициенты Z-преобразования показывают отклик системы на комплексные экспоненты
, то есть на гармонические осцилляции с различными частотами и скоростями нарастания/затухания.
Определение
Z-преобразование, как и многие интегральные преобразования, может быть задано как одностороннее и двустороннее.
Двустороннее Z-преобразование
Двустороннее Z-преобразование
дискретного временного сигнала
задаётся как:
![{\displaystyle X(z)=Z\{x[n]\}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62c93b14805e2c6b4a8e2848d369cd6c156a7fe2)
где
— целое,
— комплексное число.

где
— амплитуда, а
— угловая частота (в радианах на отсчёт)
Одностороннее Z-преобразование
В случаях, когда
определена только для
, одностороннее Z-преобразование задаётся как:
![{\displaystyle X(z)=Z\{x[n]\}=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]z^{-n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0621ea94b08e9337d978f48506e33097ecd05186)
Обратное Z-преобразование
Обратное Z-преобразование определяется, например, так:
![{\displaystyle x[n]=Z^{-1}\{X(z)\}={\frac {1}{2\pi j}}\oint \limits _{C}X(z)z^{n-1}\,dz,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1008dd91192b5acfd4b1507e2fd735b31979e63c)
где
— контур, охватывающий область сходимости
. Контур должен содержать все вычеты
.
Положив в предыдущей формуле
, получим эквивалентное определение: ![{\displaystyle x[n]={\frac {r^{n}}{2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }X(re^{j\varphi })e^{jn\varphi }\,d\varphi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bc3cc2f5a84d7b6b661e12d04860262567e0187)
Область сходимости
Область сходимости
представляет собой некоторое множество точек на комплексной плоскости, в которых существует конечный предел ряда:
![{\displaystyle D=\left\{z{\Big |}\lim _{m\to \infty }\sum _{n=-m}^{m}x[n]z^{-n}=const<\infty \right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89a59bb9dc49419841423294f56877585a5bcede)
Пример 1 (без области сходимости)
Пусть
. Раскрывая
на интервале
, получаем
![{\displaystyle x[n]=\{\ldots ;\;0{,}5^{-3};\;0{,}5^{-2};\;0{,}5^{-1};\;1;\;0{,}5;\;0{,}5^{2};\;0{,}5^{3};\;\ldots \}=\{\ldots ;\;2^{3};\;2^{2};\;2;\;1;\;0{,}5;\;0{,}5^{2};\;0{,}5^{3};\;\ldots \}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09835ad62a0fc1dbf28e3f7de6c994362fbbb676)
Смотрим на сумму:
![{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}=\infty .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04fc85b048306aef91c13513ccb1a316d76cb1bd)
Поэтому, не существует таких значений
, которые бы удовлетворяли условию сходимости.
Связь с преобразованием Лапласа
Билинейное преобразование может быть использовано для преобразования непрерывного времени, например, при аналитическом описании линейных фильтров, представленных преобразованием Лапласа, в дискретное время выборок с периодом
представленное в z-области и обратно. При таком преобразовании используется замена переменной:

Обратный переход от z-преобразования к преобразованию Лапласа производится аналогичной заменой переменной:

Билинейное преобразование отображает комплексную s-плоскость
преобразования Лапласа на комплексную z-плоскость z-преобразования. Это отображение нелинейное и характерно тем, что отображает ось
s-плоскости на единичную окружность в z-плоскости.
Таким образом, преобразование Фурье, которое является преобразованием Лапласа для переменной
, переходит в преобразование Фурье с дискретным временем. При этом предполагается, что преобразование Фурье существует, то есть ось
находится в области сходимости преобразования Лапласа.
Таблица некоторых Z-преобразований
Обозначения:
— функция Хевисайда.
для
, и
для всех остальных n — дельта-последовательность (не следует путать с дельта-символом Кронекера и дельта-функцией Дирака).
| Сигнал, ![{\displaystyle x[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/864cbbefbdcb55af4d9390911de1bf70167c4a3d) | Z-преобразование,  | Область сходимости |
---|
1 | ![{\displaystyle \delta [n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2a6caf535cb44fa3526b2f320330a805edfdfaa) |  |  |
2 | ![{\displaystyle \delta [n-n_{0}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bdb0265027e056f16fce87ab282b57cb03c4f8c) |  |  |
3 | ![{\displaystyle \theta [n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b37027362f8894b9fb2b8ee08d2a9fec58bdd27) |  |  |
4 | ![{\displaystyle a^{n}\theta [n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/423d09b8adb856fa1178ed632b0c439a55a58402) |  |  |
5 | ![{\displaystyle na^{n}\theta [n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3288749f784392b2d014845f52d22101221098c9) |  |  |
6 | ![{\displaystyle -a^{n}\theta [-n-1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f53dd5d61a14e125a708bc5c08085699946118f1) |  |  |
7 | ![{\displaystyle -na^{n}\theta [-n-1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c184715411e4b618c7f8adc6866a35ad48473a7) |  |  |
8 | ![{\displaystyle \cos(\omega _{0}n)\theta [n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5eabe26d7c2b998d1680084717e7a26531248d89) |  |  |
9 | ![{\displaystyle \sin(\omega _{0}n)\theta [n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b94cd1b4d8efbebe7c0f465740f2653fa29c9be3) |  |  |
10 | ![{\displaystyle a^{n}\cos(\omega _{0}n)\theta [n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d125b515157f59b4972748bb040639eedff96330) |  |  |
11 | ![{\displaystyle a^{n}\sin(\omega _{0}n)\theta [n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a9d5f7edebeb16aa82b84f652177ca2c813ffcc) |  |  |
См. также
Ссылки