Z-функция

Z-фу́нкция от строки ${\displaystyle S}$ — массив ${\displaystyle Z_{1},\dots ,Z_{n}}$, такой что ${\displaystyle Z_{i}}$ равен длине наибольшего общего префикса начинающегося с позиции ${\displaystyle i}$ суффикса строки ${\displaystyle S}$ и самой строки ${\displaystyle S}$. Алгоритм построения был изложен Дэном Гасфилдом^[англ.] в его книге «Строки, деревья и последовательности в алгоритмах. Информатика и вычислительная биология» в 1997 году^[1] на основе публикации Мейна и Лоренца 1984 года^[2] о поиске всех тандемных повторов в строке.

Z-функция используется в различных алгоритмах обработки строк. В частности, с её помощью можно быстро решать задачу о поиске вхождения одной строки в другую (поиск по образцу).

Символы строк нумеруются с 0.

Будем хранить индексы L и R, обозначающие начало и конец префикса с наибольшим найденным на данный момент значением R. Изначально ${\displaystyle L=R=0}$.

Пусть нам известны значения Z-функции для позиций 1…i − 1. Попробуем вычислить значение Z-функции для позиции i. Если ${\displaystyle i\in [L..R]}$, рассмотрим значение Z-функции для позиции ${\displaystyle j=i-L}$. Если ${\displaystyle i+Z[j]\leqslant R}$, то ${\displaystyle Z[i]=Z[j]}$, так как мы находимся в подстроке, совпадающей с префиксом всей строки. Если же ${\displaystyle i+Z[j]>R}$, то необходимо досчитать значение Z[i] простым циклом, перебирающим символы после R, пока не найдется символ, не совпадающий с соответствующим символом из префикса. После этого изменяем, значение L на i и значение R на номер последнего символа, совпавшего с соответствующим символом из префикса.

Если ${\displaystyle i\notin [L..R]}$, то считаем значение Z[i] простым циклом, сравнивающим символы подстроки начинающейся с i-го символа и соответствующие символы из префикса. Когда будет найдено несоответствие или будет достигнут конец строки, изменяем значение L на i и значение R на номер последнего символа, совпавшего с соответствующим символом из префикса.

Время работы алгоритма, вычисляющего значение Z-функции строки S оценивается в ${\displaystyle O(\left|S\right|)}$. Докажем это.

Рассмотрим i-й символ строки. В алгоритме он рассматривается не более двух раз: первый раз, когда попадает в отрезок ${\displaystyle [L...R]}$, и второй раз при вычислении Z[i].

Таким образом цикл обрабатывает не более ${\displaystyle 2\left|S\right|}$ итераций.

1) Z-функцию можно использовать для поиска образца T в строке S,

2) Зная Z-функцию строки, можно однозначно восстановить префикс-функцию этой строки, и наоборот.

def z_func(s):
  z = [0] * len(s)
  left, right = 0, 0
  for i in range(0, len(s)):
    z[i] = max(0, min(z[i - left], right - i))
    while i + z[i] < len(s) and s[z[i]] == s[i + z[i]]:
      z[i] += 1
    if i + z[i] > right:
      left, right = i, i + z[i]
  return z

• Префикс-функция
• Алгоритм Кнута — Морриса — Пратта

• Статья на MAXimal::algo
• Задача для проверки (недоступная ссылка)