Абелев интеграл

А́белев интеграл^[1] — интеграл от алгебраической функции вида^[2]

${\displaystyle \int \limits _{z_{0}}^{z_{1}}R(z,w)\,dz,}$

где ${\displaystyle R(z,w)}$ — любая рациональная функция от переменных ${\displaystyle z}$ и ${\displaystyle w,}$ связанных алгебраическим уравнением

${\displaystyle F(z,w)=a_{0}(z)w^{n}+a_{1}(z)w^{n-1}+\ldots +a_{n}(z)=0}$

с целыми рациональными по ${\displaystyle z}$ коэффициентами ${\displaystyle a_{j}(z),\ j=0,1,\dots ,n.}$ Этому уравнению соответствует компактная риманова поверхность ${\displaystyle F,}$ ${\displaystyle n}$-листно накрывающая сферу Римана, на которой ${\displaystyle z,w,}$ а следовательно и ${\displaystyle R(z,w),}$ рассматриваемые как функции точки поверхности ${\displaystyle F,}$ однозначны.

• Спрингер Дж. Глава 10 // Введение в теорию римановых поверхностей / Перевод с английского. — М., 1960.
• Чеботарёв Н. Г. Глава 8, 9 // Теория алгебраических функций. — М.: Л., 1948.
• Bliss G. A. Algebraic functions. — N. Y., 1966.

• Алгебраическая функция
• Интегральное преобразование Абеля