Абсолютная сходимость

Сходящийся ряд ${\displaystyle \sum a_{n}}$ называется сходящимся абсолютно, если сходится ряд из модулей ${\displaystyle \sum |a_{n}|}$, иначе — сходящимся условно.

Аналогично, если несобственный интеграл ${\displaystyle \int f(x)\,dx}$ от функции сходится, то он называется сходящимся абсолютно или условно в зависимости от того, сходится или нет интеграл от её модуля ${\displaystyle \int |f(x)|\,dx}$.

В случае общего нормированного пространства модуль в определении заменяется на норму.

Если ${\displaystyle \exists N_{0}:|a_{n}|\leqslant b_{n}}$ при ${\displaystyle n\geqslant N_{0}}$, то:

• если ряд ${\displaystyle \sum b_{n}}$ сходится, то ряд ${\displaystyle \sum a_{n}}$ сходится абсолютно
• если ряд ${\displaystyle \sum a_{n}}$ расходится, то ряд ${\displaystyle \sum b_{n}}$ расходится

Согласно критерию Коши, ${\displaystyle \forall \varepsilon >0\ \exists N\geqslant N_{0}\ \forall m\geqslant n\geqslant N:\left|\sum _{k=n}^{m}b_{k}\right|\leqslant \varepsilon }$. Значит, ${\displaystyle \left|\sum _{k=n}^{m}a_{k}\right|\leqslant \sum _{k=n}^{m}|a_{k}|\leqslant \sum _{k=n}^{m}b_{k}\leqslant \left|\sum _{k=n}^{m}b_{k}\right|\leqslant \varepsilon }$, и по критерию Коши ряд ${\displaystyle \sum a_{n}}$ сходится. Второе утверждение следует из первого, так как если бы ряд ${\displaystyle \sum b_{n}}$ сходился, то и ряд ${\displaystyle \sum a_{n}}$ сходился бы.

Пусть ${\displaystyle a_{1}\geqslant a_{2}\geqslant a_{3}\geqslant ...\geqslant 0}$. Тогда ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }2^{k}a_{2^{k}}=a_{1}+2a_{2}+4a_{4}+8a_{8}+...}$

Признак д’Аламбера

Ряд ${\displaystyle \sum a_{n}}$

1. Сходится абсолютно, если ${\displaystyle \varlimsup _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|<1}$
2. Расходится, если ${\displaystyle \varliminf _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|>1}$
3. Существуют как сходящиеся, так и расходящиеся ряды, для которых ${\displaystyle \varliminf _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\leqslant 1\leqslant \varlimsup _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|}$

Признак Коши

Пусть задан ряд ${\displaystyle \sum a_{n}}$ и ${\displaystyle \alpha =\varlimsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}}$. Тогда

1. Если ${\displaystyle \alpha <1}$, то ряд сходится абсолютно
2. Если ${\displaystyle \alpha >1}$, то ряд расходится
3. Существуют как сходящиеся, так и расходящиеся ряды, для которых ${\displaystyle \alpha =1}$

Утверждение о сходимости в признаках Коши и Даламбера выводится из сравнения с геометрической прогрессией (со знаменателями ${\displaystyle \varlimsup _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|}$ и ${\displaystyle \alpha }$ соответственно), о расходимости — из того, что общий член ряда не стремится к нулю.

Если признак Даламбера указывает на сходимость, то и признак Коши указывает на сходимость; если признак Коши не позволяет сделать вывода о сходимости, то и признак Даламбера тоже не позволяет сделать никаких выводов. Признак Коши сильнее признака Даламбера, поскольку существуют ряды, для которых признак Коши указывает на сходимость, а признак Даламбера не указывает на сходимость.

Пусть задан ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n},a_{n}\geqslant 0}$ и функция ${\displaystyle f(x):\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ такая, что:

• ${\displaystyle f(x)}$ нестрого монотонно убывает: ${\displaystyle x_{1}<x_{2}\Rightarrow f(x_{1})\geqslant f(x_{2})}$
• ${\displaystyle \forall \ n:\ f(n)=a_{n}}$

Тогда ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ и интеграл ${\displaystyle \int \limits _{1}^{\infty }f(x)dx}$ сходятся или расходятся одновременно, причём ${\displaystyle \forall k\geqslant 1\ \sum _{n=k}^{\infty }a_{n}\geqslant \int \limits _{k}^{\infty }f(x)dx\geqslant \sum _{n=k+1}^{\infty }a_{n}}$

Пусть задан ряд ${\displaystyle \sum a_{n}}$, ${\displaystyle a_{n}>0}$ и ${\displaystyle R_{n}=n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)}$.

1. Если ${\displaystyle \varliminf _{n\to \infty }R_{n}>1}$, то ряд сходится
2. Если ${\displaystyle \varlimsup _{n\to \infty }R_{n}\leqslant 1}$, то ряд расходится
3. Существуют как сходящиеся, так и расходящиеся ряды, для которых ${\displaystyle \varliminf _{n\to \infty }R_{n}\leqslant 1\leqslant \varlimsup _{n\to \infty }R_{n}}$

Признак Раабе основан на сравнении с обобщённым гармоническим рядом

• Если оба ряда ${\displaystyle \sum a_{n}}$ и ${\displaystyle \sum b_{n}}$ сходятся абсолютно, то и их сумма ${\displaystyle \sum (a_{n}+b_{n})}$ сходится абсолютно
• Если хотя бы один из рядов ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ и ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }b_{n}}$ сходится абсолютно, то их произведение по Коши ${\displaystyle \sum c_{n},c_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}}$ сходится, если же оба ряда сходятся абсолютно, то и их произведение сходится абсолютно
• Ряд сходится абсолютно тогда и только тогда, когда каждая его перестановка сходится. При этом все перестановки абсолютно сходящегося ряда сходятся к одной и той же сумме.

Рассмотрим ряд ${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{2^{3}}}+...}$. Для этого ряда:

• ${\displaystyle \varliminf _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {2}{3}}\right)^{n}=0}$
• ${\displaystyle \varlimsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{2n}]{\frac {1}{2^{n}}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}}$
• ${\displaystyle \varlimsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {3}{2}}\right)^{n}=+\infty }$

Таким образом, признак Коши указывает на сходимость, признак Даламбера же не позволяет сделать никаких заключений.

Рассмотрим ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }2^{n-(-1)^{n}}}$

• ${\displaystyle \varlimsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {2^{n+1+1}}{2^{n-1}}}=8}$
• ${\displaystyle \varliminf _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {2^{n+1-1}}{2^{n+1}}}={\frac {1}{2}}}$
• ${\displaystyle \varlimsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n}}}=\lim _{n\to \infty }2{\sqrt[{n}]{2^{(-1)^{n}}}}=2}$

Таким образом, признак Коши указывает на расходимость, признак Даламбера же не позволяет сделать никаких заключений.

Ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{\alpha }}}}$ сходится при ${\displaystyle \alpha >1}$ и расходится при ${\displaystyle \alpha \leqslant 1}$, однако:

• ${\displaystyle \varliminf _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {n}{n+1}}\right)^{\alpha }=1}$
• ${\displaystyle \varlimsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n}}}=\lim _{n\to \infty }n^{\alpha /n}=1}$
• ${\displaystyle \varlimsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {n}{n+1}}\right)^{\alpha }=1}$

Таким образом, признаки Коши и Даламбера не позволяют сделать никаких выводов.

Ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n}}}$ сходится условно по признаку Лейбница, но не абсолютно, так как гармонический ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left|{\frac {(-1)^{n}}{n}}\right|=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}}$ расходится.

Определение

Несобственный интеграл первого рода ${\displaystyle \int \limits _{a}^{+\infty }f(x)dx}$ называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл ${\displaystyle \int \limits _{a}^{+\infty }|f(x)|dx}$.

Свойства

• из сходимости интеграла ${\displaystyle \int \limits _{a}^{+\infty }|f(x)|dx}$ вытекает сходимость интеграла ${\displaystyle \int \limits _{a}^{+\infty }f(x)dx}$.
• Для выявления абсолютной сходимости несобственного интеграла первого рода используют признаки сходимости несобственных интегралов первого рода от неотрицательных функций.
• Если интеграл ${\displaystyle \int \limits _{a}^{+\infty }|f(x)|dx}$ расходится, то для выявления условной сходимости несобственного интеграла первого рода могут быть использованы признаки Абеля и Дирихле.

Определение

Пусть ${\displaystyle f(x)}$ определена и интегрируема на ${\displaystyle [a;b-\varepsilon \ ]\quad \forall \varepsilon \ \in (0;b-a)}$, неограничена в левой окрестности точки ${\displaystyle b}$. Несобственный интеграл второго рода ${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)dx}$ называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл ${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}|f(x)|dx}$.

Свойства

• из сходимости интеграла ${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}|f(x)|dx}$ вытекает сходимость интеграла ${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)dx}$.
• Для выявления абсолютной сходимости несобственного интеграла второго рода используют признаки сходимости несобственных интегралов второго рода от неотрицательных функций.
• Если интеграл ${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}|f(x)|dx}$ расходится, то для выявления условной сходимости несобственного интеграла второго рода могут быть использованы признаки Абеля и Дирихле.

• Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике. — Изд. 7-е, стереотипное. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1967. — С. 296.

• Условная сходимость
• Безусловная сходимость