Аксиома пары

Аксиомой [существования неупорядоченной] пары называется следующее высказывание теории множеств:

${\displaystyle \forall a_{1}\forall a_{2}\exists c\forall b\ (b\in c\ \leftrightarrow \ b=a_{1}\ \lor \ b=a_{2})}$

А именно: «Из любых двух [одинаковых или разных] множеств можно образовать [по меньшей мере одну] „неупорядоченную пару“, то есть такое множество ${\displaystyle c}$, каждый элемент ${\displaystyle b}$ которого идентичен данному множеству ${\displaystyle a_{1}}$ или данному множеству ${\displaystyle a_{2}}$.»

${\displaystyle \forall a_{1}\forall a_{2}\exists c\ (c=\{b:\ b=a_{1}\ \lor \ b=a_{2}\}\ )}$

${\displaystyle \forall a_{1}\forall a_{2}\exists c\forall b\ (b\notin c\ \leftrightarrow \ b\neq a_{1}\ \land \ b\neq a_{2})}$

${\displaystyle \forall a_{1}\forall a_{2}\exists c\ (a_{1}\in c\ \land \ a_{2}\in c\quad \land \quad \forall b\ (b\neq a_{1}\ \land \ b\neq a_{2}\to b\notin c)\ )}$

1. Аксиому пары можно вывести из схемы преобразования

• ${\displaystyle \forall a\exists d\forall c\ (c\in d\ \leftrightarrow \ \exists b\ (b\in a\ \land \ c=\mathrm {f} (b)\ ))}$, если положить ${\displaystyle a={\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\varnothing ))}$ и выбрать функцию ${\displaystyle \mathrm {f} }$ такой, что ${\displaystyle c=\mathrm {f} (b)\ \Leftrightarrow \ (b=\varnothing \to c=a_{1})\land (b\neq \varnothing \to c=a_{2})}$.

2. Руководствуясь аксиомой объёмности можно доказать единственность [неупорядоченной] пары. Иначе говоря, можно доказать, что аксиома пары равносильна высказыванию

${\displaystyle \forall a_{1}\forall a_{2}\exists !c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b=a_{1}\lor b=a_{2})}$, что есть ${\displaystyle \forall a_{1}\forall a_{2}\exists c\forall c'\ (\forall b\ (b\in c'\leftrightarrow b=a_{1}\lor b=a_{2})\ \leftrightarrow c=c')}$

Последнее высказывание позволяет утверждать следующее: «Из любых двух [одинаковых или разных] множеств можно образовать только одну „неупорядоченную пару“, то есть такое множество ${\displaystyle c}$, каждый элемент ${\displaystyle b}$ которого идентичен данному множеству ${\displaystyle a_{1}}$ или данному множеству ${\displaystyle a_{2}}$.»

3. Из аксиомы пары можно вывести теорему о существовании одноэлементного множества:

${\displaystyle \forall a\exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b=a)}$

• Аксиоматика теории множеств